Почему объём пирамиды равен трети объёма призмы?

Пирамида с тем же основанием и высотой занимает треть объёма соответствующей призмы. Поэтому объём пирамиды всегда меньше объёма такой призмы в три раза.

Что такое высота пирамиды?

Это перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Боковое ребро, наклонная грань и апофема боковой грани не являются высотой.

Можно ли найти объём по апофеме?

Только если по апофеме и параметрам основания можно восстановить перпендикулярную высоту. В этом калькуляторе основным входом остаётся высота.

Почему для прямоугольного основания не считается боковая поверхность?

Без дополнительных данных о положении вершины и боковых гранях поверхность может быть разной при той же площади основания и высоте. Поэтому для прямоугольного основания здесь выводятся объём, площадь основания, периметр и высота.

Чем этот калькулятор отличается от полного калькулятора пирамиды?

Здесь фокус на быстром объёме по основанию и высоте. Полный калькулятор правильной пирамиды нужен для бокового ребра, углов, радиусов основания и альтернативных режимов ввода.

Калькулятор объёма пирамиды онлайн

Q: Как найти объём пирамиды?

Найдите площадь основания, умножьте её на перпендикулярную высоту и возьмите треть результата. В калькуляторе площадь основания считается автоматически по выбранному типу основания.

Найдите объём пирамиды по площади основания и высоте или параметрам правильной пирамиды. Подходит для ручной проверки и учебных задач.

Тип основания

Единица

Сторона основания (м)

Перпендикулярная высота (м)

Объём считается по площади выбранного основания и перпендикулярной высоте. Поверхность считается не для всех оснований.

Как найти объём пирамиды

Пирамида — это многогранник с одним основанием и треугольными боковыми гранями, сходящимися в вершине. Для объёма нужны две величины: площадь основания и высота, проведённая перпендикулярно к плоскости основания.

V = \frac{1}{3} S_{осн} h

V — объём пирамиды; Sосн — площадь основания; h — перпендикулярная высота.

Короткий ответ

Объём пирамиды равен одной трети произведения площади основания на перпендикулярную высоту. В калькуляторе площадь основания получается из выбранной формы: квадрат, прямоугольник, равносторонний треугольник или правильный многоугольник.

Высота — не боковое ребро

В поле высоты вводится перпендикуляр от вершины к плоскости основания. Боковое ребро и апофема боковой грани — наклонные отрезки, их нельзя подставлять вместо высоты без дополнительного расчёта.

Как выбрать тип основания

Квадратное основание — частый школьный случай для правильной четырёхугольной пирамиды.
Прямоугольное основание — подходит, когда известны длина и ширина основания; поверхность здесь не определяется однозначно.
Равносторонний треугольник — вариант треугольной пирамиды с одинаковыми сторонами основания.
Правильный n-угольник — основание с равными сторонами и углами, вершина рассматривается над центром основания.

Основание	Что вводить	Что получает калькулятор	Ограничение
Квадрат	сторону и высоту	площадь и периметр основания	поверхность считается для симметричной пирамиды
Прямоугольник	длину, ширину и высоту	площадь, периметр и объём	боковая и полная поверхность не выводятся
Равносторонний треугольник	сторону и высоту	площадь, периметр, апофемы и поверхность	основание должно быть равносторонним
Правильный n-угольник	сторону, число сторон и высоту	площадь, периметр, апофемы и поверхность	число сторон должно быть целым и не меньше трёх

S_{осн} = a^{2}

Sосн — площадь квадратного основания; a — сторона квадрата.

S_{осн} = a \cdot b

Sосн — площадь прямоугольного основания; a и b — стороны основания.

S_{осн} = \frac{3}{4} a^{2}

Sосн — площадь равностороннего треугольника; a — сторона основания.

r = \frac{a}{2 tan ( π / n )}, S_{осн} = \frac{1}{2} P r

r — апофема основания; a — сторона; n — число сторон; Sосн — площадь основания; P — периметр.

Апофема пирамиды

Для правильной пирамиды важно различать апофему основания и апофему боковой грани. Апофема основания идёт от центра правильного многоугольника к стороне основания. Апофема боковой грани идёт по боковому треугольнику от вершины пирамиды к стороне основания.

l = h^{2} + r^{2}

l — апофема боковой грани; h — высота; r — апофема основания.

S_{бок} = \frac{1}{2} P l

Sбок — боковая поверхность; P — периметр основания; l — апофема боковой грани.

Поверхность не для любой пирамиды

Для прямоугольного или произвольного основания объём можно найти по площади основания и высоте, но поверхность произвольной пирамиды зависит от положения вершины и формы боковых граней. Поэтому калькулятор не обещает боковую и полную поверхность для прямоугольного основания без дополнительных данных о положении вершины.

Примеры расчёта

Если квадратное основание имеет сторону четыре метра, а перпендикулярная высота равна девяти метрам, площадь основания равна шестнадцати квадратным метрам, а объём — сорока восьми кубическим метрам.

Если прямоугольное основание имеет стороны три и пять метров, а высота равна шести метрам, площадь основания равна пятнадцати квадратным метрам, а объём — тридцати кубическим метрам. Поверхность для такого набора данных калькулятор не выводит.

Частые ошибки

Подставляют боковое ребро вместо высоты. Для объёма нужна именно перпендикулярная высота к основанию.
Смешивают высоту и апофему. Апофема боковой грани используется для поверхности правильной пирамиды, но не заменяет высоту в расчёте объёма.
Ожидают поверхность произвольной пирамиды по одной высоте. Без дополнительных данных о положении вершины и боковых гранях поверхность может быть разной.
Смешивают единицы измерения. Все линейные размеры нужно вводить в одной единице, тогда результат объёма получится в кубических единицах.

Когда нужен полный калькулятор пирамиды

Этот калькулятор рассчитан на быстрый объём пирамиды по основанию и перпендикулярной высоте. Если нужны боковое ребро, углы наклона, радиусы основания или альтернативные режимы ввода для правильной пирамиды, используйте полный калькулятор правильной пирамиды из связанных инструментов.

Для сравнения полезны объём призмы с тем же основанием и высотой, объём конуса с похожим коэффициентом и калькулятор правильного многоугольника, который помогает проверить площадь основания правильной n-угольной пирамиды.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.