Калькулятор правильного многоугольника
Полный калькулятор правильного n-угольника: вычисление площади, периметра, апофемы, радиусов вписанной и описанной окружностей, внутреннего и центрального углов, диагонали по любому из параметров (n + a, r, R или S). Пошаговые формулы в KaTeX и SVG-чертёж.
Что считает калькулятор правильного многоугольника
Правильный многоугольник полностью задаётся двумя параметрами: числом сторон n и любой одной длиной — стороной a, апофемой r, радиусом описанной окружности R или площадью S. Этот калькулятор по любой из таких пар вычисляет полный набор характеристик: периметр, площадь, апофему, оба радиуса, внутренний и центральный углы, наибольшую диагональ.
| Обозначение | Что означает | Единица |
|---|---|---|
| n | число сторон | целое число |
| a | сторона | выбранная единица длины |
| P | периметр | выбранная единица длины |
| S | площадь | квадратная единица |
| r | радиус вписанной окружности | выбранная единица длины |
| апофема | выбранная единица длины | |
| R | радиус описанной окружности | выбранная единица длины |
| β | внутренний угол | градусы |
| γ | центральный угол | градусы |
| dmax | наибольшая диагональ | выбранная единица длины |
Формулы правильного n-угольника
P — периметр, n — число сторон, a — сторона многоугольника.
r и a_p — радиус вписанной окружности и апофема, a — сторона, n — число сторон.
R — радиус описанной окружности, a — сторона, n — число сторон.
S — площадь, P — периметр, r — апофема, a — сторона.
β — внутренний угол, n — число сторон.
γ — центральный угол, n — число сторон.
d max — наибольшая диагональ, R — описанный радиус, n — чётное число сторон.
d max — наибольшая диагональ, R — описанный радиус, n — нечётное число сторон.
a — восстановленная сторона, S — площадь, n — число сторон.
Формулы применимы к правильному многоугольнику: все его стороны равны, все внутренние углы равны, а центр одновременно связан с вписанной и описанной окружностями.
Какой режим ввода выбрать
| Что известно | Что сначала находится | Когда использовать |
|---|---|---|
| число сторон и сторона | остальные параметры напрямую | учебная задача, раскрой, проверка чертежа |
| число сторон и апофема | сторона через радиус вписанной окружности | известно расстояние от центра до стороны |
| число сторон и описанный радиус | сторона через радиус до вершины | многоугольник вписан в окружность известного размера |
| число сторон и площадь | сторона по известной площади | обратная задача, когда нужно восстановить размер стороны |
Апофема, вписанная и описанная окружности
Апофема — это расстояние от центра правильного многоугольника до стороны. Для такой фигуры она совпадает с радиусом вписанной окружности. Описанный радиус измеряется от центра до вершины, поэтому он больше вписанного радиуса при любом конечном числе сторон.
- Вписанная окружность касается сторон в их серединах.
- Описанная окружность проходит через все вершины.
- У правильного шестиугольника описанный радиус совпадает со стороной.
- При росте числа сторон разница между вписанной и описанной окружностями уменьшается.
Углы и диагонали
В правильном многоугольнике все внутренние углы равны. Центральный угол показывает поворот между соседними вершинами из центра, а наибольшая диагональ соединяет самые удалённые вершины фигуры.
| n | Название | Внутренний угол | Площадь при стороне 1 |
|---|---|---|---|
| 3 | правильный треугольник | 60° | примерно 0.4330 |
| 4 | квадрат | 90° | 1 |
| 5 | пятиугольник | 108° | примерно 1.7205 |
| 6 | шестиугольник | 120° | примерно 2.5981 |
| 8 | восьмиугольник | 135° | примерно 4.8284 |
| 10 | десятиугольник | 144° | примерно 7.6942 |
| 12 | двенадцатиугольник | 150° | примерно 11.196 |
Чем отличается от калькулятора площади и периметра
Эта страница нужна, когда требуется полный паспорт правильного многоугольника: сторона, площадь, периметр, радиусы, апофема, углы и наибольшая диагональ. Узкие страницы площади и периметра лучше подходят для быстрых одноцелевых задач.
| Страница | Фокус | Когда выбирать |
|---|---|---|
| Калькулятор правильного многоугольника | полный набор параметров | нужно восстановить все свойства фигуры по одному известному размеру |
| Площадь правильного многоугольника | только площадь и близкие параметры | нужен короткий расчёт площади |
| Периметр правильного многоугольника | длина контура | известны сторона или периметр и нужно быстро проверить контур |
Ограничения расчёта
- Число сторон должно быть целым и не меньше трёх.
- Максимум — 1000 сторон; при больших значениях чертёж визуально похож на окружность, но расчёт остаётся многоугольным.
- Сторона, радиусы и площадь должны быть положительными.
- Выбранная единица только подписывает результат. Если исходные данные в разных единицах, приведите их вручную перед расчётом.
- Диагональ в результате — наибольшая, а не произвольная диагональ между любыми двумя вершинами.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор площади правильного n-угольника от треугольника до 100-угольника по стороне, апофеме, радиусу описанной окружности или известной площади. Показывает периметр, радиусы, углы и SVG-визуализацию.
Калькулятор периметра правильного n-угольника по стороне, радиусу описанной окружности, апофеме или площади. Показывает связанные радиусы, площадь, углы, пошаговое решение и схему.
Калькулятор площади круга по радиусу, диаметру или длине окружности, а также обратный расчёт радиуса по известной площади. Все остальные величины восстанавливаются автоматически.