Калькулятор теоремы синусов
Решает треугольник по теореме синусов в режимах AAS, ASA и SSA (включая неоднозначный случай с двумя решениями), а также находит радиус описанной окружности. Возвращает стороны, углы, площадь, периметр, R и SVG-визуализацию.
Теорема синусов: калькулятор сторон треугольника
Известны два угла и сторона напротив первого из них.
Решение
Проверка результата
Формулировка теоремы синусов
Теорема синусов связывает стороны треугольника с противолежащими углами. Она полезна, когда уже известна хотя бы одна пара «сторона — угол напротив неё».
a, b, c — стороны треугольника; A, B, C — противолежащие им углы; R — радиус описанной окружности.
Три типичные задачи и режимы калькулятора
| Режим | Что дано | Что находим | Сколько решений |
|---|---|---|---|
| AAS | Два угла и сторона напротив одного из них | Третий угол, две стороны, R, S | Всегда одно |
| ASA | Два угла и сторона между ними | Третий угол, две стороны, R, S | Всегда одно |
| SSA | Две стороны и угол напротив одной из них | Углы, третья сторона, R, S | 0, 1 или 2 (неоднозначный случай) |
| Найти R | Сторона и противолежащий угол | Радиус описанной окружности | Всегда одно |
| Сторона | Противолежащий угол | Как читать ввод |
|---|---|---|
| a | A | сторона a находится напротив вершины A |
| b | B | сторона b находится напротив вершины B |
| c | C | сторона c находится напротив вершины C |
Неоднозначный случай SSA: разбор
Когда даны две стороны и угол не между ними (SSA), возможна неоднозначность: острый угол и дополнительный тупой угол иногда дают два разных треугольника. Поэтому у SSA бывает ноль, одно или два решения.
a — сторона напротив известного угла A; b — вторая известная сторона; B — угол напротив стороны b.
- Если значение для синуса больше 1 — треугольник не существует (сторона a слишком мала)
- Если значение ровно 1 — ровно одно решение, угол B прямой
- **Если, дополнительный угол не подходит
- **Если и
| Дано | Итог |
|---|---|
| ,, | одно пограничное решение:, |
| ,, | два решения: B около 66,7° или B около 113,3° |
| ,, | решений нет: значение для sin B больше 1 |
Алгоритм решения для школьников
R — радиус описанной окружности, a — известная сторона, A — угол напротив неё.
S — площадь, a и b — две стороны, C — угол между ними.
- Шаг 1: если известны два угла — найти третий из суммы 180°
- Шаг 2: выбрать известную пару «сторона — противолежащий угол»
- Шаг 3: для SSA проверить, не выходит ли значение синуса за допустимые границы
- Шаг 4: восстановить недостающие стороны и углы
- Шаг 5: отдельно проверить сумму углов и одинаковость отношения стороны к синусу противолежащего угла
Когда нужна теорема косинусов или общий решатель
Теорема синусов удобна, когда уже известна хотя бы одна пара «сторона — противолежащий угол». В задачах SSS и SAS такой пары сначала нет, поэтому начинают с теоремы косинусов, а затем при необходимости переходят к теореме синусов.
Если в задаче задан другой набор сторон и углов, используйте общий калькулятор треугольника. Эта страница держит фокус на учебных сценариях AAS, ASA, SSA и радиусе описанной окружности.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор тригонометрических функций угла: sin, cos, tg, ctg, sec, cosec. Поддерживает градусы, радианы, выражения с π (например, pi/4) и DMS (° ′ ″). Показывает точные значения для табличных углов, десятичные значения, четверть, опорный угол и единичную окружность.
Калькулятор обратных тригонометрических функций: arcsin, arccos, arctg, arcctg, arcsec, arccsc. Для табличных значений 1/2, √2/2, √3/2, 1, √3 показывает точные углы в радианах с π и в градусах. Проверяет ОДЗ, главные ветви и область значений.
Двунаправленный конвертер градусов и радиан с распознаванием выражений с π (pi/4, 2pi/3). Показывает точное значение в π для табличных углов, десятичное приближение, грады, обороты, DMS (°′″), единичную окружность и таблицу стандартных углов.
Полный решатель треугольника по 5 наборам данных: SSS, SAS, ASA, AAS, SSA. Находит стороны, углы, площадь, периметр, высоты, медианы, биссектрисы, радиусы описанной и вписанной окружностей. Учитывает неоднозначный случай SSA с двумя решениями.
Универсальный калькулятор площади треугольника: 10 способов расчёта по основанию и высоте, трём сторонам, сторонам и углам, координатам, частным случаям и радиусам окружностей.
Калькулятор периметра треугольника по трём сторонам, для равностороннего, равнобедренного и прямоугольного треугольника. Пошаговое решение, проверка неравенства треугольника и SVG-схема.