Арксинус, арккосинус и арктангенс онлайн
Калькулятор обратных тригонометрических функций: arcsin, arccos, arctg, arcctg, arcsec, arccsc. Для табличных значений 1/2, √2/2, √3/2, 1, √3 показывает точные углы в радианах с π и в градусах. Проверяет ОДЗ, главные ветви и область значений.
Что считает обратная тригонометрическая функция
Обратная тригонометрическая функция отвечает на обратный вопрос: не чему равен синус или косинус угла, а какой главный угол даёт заданное значение функции. Из-за периодичности тригонометрии таких углов бесконечно много, поэтому в справочных расчётах берут одну главную ветвь.
- x — заданное значение синуса или косинуса, допустимое только на отрезке [−1; 1]
- θ — главный угол, который возвращает обратная функция
- sin — прямая функция, для которой θ выбирают в диапазоне [−π/2; π/2]
- cos — прямая функция, для которой θ выбирают в диапазоне [0; π]
У арксинуса главный угол может быть отрицательным, потому что его ветвь симметрична вокруг нуля. У арккосинуса главный угол лежит от 0 до π, поэтому отрицательных ответов там нет.
- x — любое вещественное число
- θ — главное значение угла в радианах
- tg — тангенс; его обратная функция также записывается как arctan
- ctg — котангенс; его главная ветвь здесь лежит между 0 и π
Записи arctg и arctan означают одно и то же. В русских учебниках чаще встречается arctg, в программировании и англоязычных источниках — arctan.
- x — аргумент обратной функции
- θ — угол из промежутка (0; π)
- arctg — главное значение обратного тангенса
- arcctg — главное значение обратного котангенса в принятой на странице ветви
- x — аргумент с модулем не меньше 1
- θ — главный угол после перехода к обратному аргументу 1/x
- sec — секанс, обратная величина к cos
- csc — косеканс, обратная величина к sin
Область определения и область значений
| Функция | ОДЗ | Главная ветвь | Как проверить |
|---|---|---|---|
| arcsin | x ∈ [−1; 1] | y ∈ [−π/2; π/2] | через синус угла |
| arccos | x ∈ [−1; 1] | y ∈ [0; π] | через косинус угла |
| arctg / arctan | x ∈ ℝ | y ∈ (−π/2; π/2) | через тангенс угла |
| arcctg / arccot | x ∈ ℝ | y ∈ (0; π) | через котангенс угла |
| arcsec | |x| ≥ 1 | y ∈ [0; π] \ {π/2} | через секанс или arccos от обратного аргумента |
| arccsc | |x| ≥ 1 | y ∈ [−π/2; π/2] \ {0} | через косеканс или arcsin от обратного аргумента |
Ограничение по ОДЗ важно для значений вне диапазона от минус единицы до единицы: у арксинуса и арккосинуса там нет вещественного угла. Для арксеканса и арккосеканса, наоборот, запрещён внутренний промежуток между минус единицей и единицей.
Точные значения для табличных аргументов
Для стандартных аргументов ответ удобно писать точно, через π. Так запись не теряет смысл при дальнейших преобразованиях: π/6 сразу читается как 30°, а не как округлённое десятичное число.
- x — табличный аргумент: например 1/2, −1/2 или √3/3
- θ — главное значение угла
- π — радианная запись точного ответа
- ° — тот же угол в градусах
| x | arcsin: рад | arcsin: град | arccos: рад | arccos: град | arctg: рад | arctg: град |
|---|---|---|---|---|---|---|
| −1 | −π/2 | −90° | π | 180° | — | — |
| −√3/2 | −π/3 | −60° | 5π/6 | 150° | — | — |
| −√2/2 | −π/4 | −45° | 3π/4 | 135° | — | — |
| −1/2 | −π/6 | −30° | 2π/3 | 120° | — | — |
| 0 | 0 | 0° | π/2 | 90° | 0 | 0° |
| 1/2 | π/6 | 30° | π/3 | 60° | — | — |
| √3/3 | — | — | — | — | π/6 | 30° |
| 1 | π/2 | 90° | 0 | 0° | π/4 | 45° |
| √3 | — | — | — | — | π/3 | 60° |
Какие значения x имеют смысл
В прикладной задаче сначала проверьте, к какой функции относится аргумент. Для арксинуса и арккосинуса число 1.2 недопустимо, а для арктангенса оно нормально. Для арксеканса и арккосеканса ситуация обратная: запрещён внутренний промежуток между −1 и 1.
- Можно вводить десятичные числа: 0.5 или 0,5
- Можно вводить простые дроби: 1/2, -1/2
- Можно вводить радикалы в короткой записи: √2/2, √3, -√3
- Можно вводить программную запись: sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, -sqrt(3)/3
- Полный символьный парсер для произвольных выражений здесь не заявлен
Главное значение и все решения уравнения
Обратная функция возвращает один угол на выбранной главной ветви. Это удобно для проверки значения и для задач, где нужен конкретный угол. Если задача просит решить тригонометрическое уравнение, ответ обычно записывают отдельно с учётом периода и возможных ветвей.
Как проверить результат
Проверка идёт через прямые тригонометрические функции: подставьте найденный главный угол и убедитесь, что исходное значение возвращается в допустимом диапазоне. Если ответ нужен в другом формате, используйте перевод между радианами и градусами.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор тригонометрических функций угла: sin, cos, tg, ctg, sec, cosec. Поддерживает градусы, радианы, выражения с π (например, pi/4) и DMS (° ′ ″). Показывает точные значения для табличных углов, десятичные значения, четверть, опорный угол и единичную окружность.
Двунаправленный конвертер градусов и радиан с распознаванием выражений с π (pi/4, 2pi/3). Показывает точное значение в π для табличных углов, десятичное приближение, грады, обороты, DMS (°′″), единичную окружность и таблицу стандартных углов.
Переведите радианы в градусы для тригонометрии, геометрии, программирования и инженерных расчетов.