Как найти расстояние от точки до плоскости?

Подставьте координаты точки в уравнение плоскости, возьмите модуль полученного значения и разделите его на длину нормали. Так получается длина перпендикуляра от точки до плоскости.

Что означает знаковое расстояние?

Знаковое расстояние показывает, в каком полупространстве находится точка относительно выбранной нормали. Если изменить направление нормали, знак поменяется, но обычное расстояние останется тем же.

Как найти основание перпендикуляра на плоскость?

Основание перпендикуляра H находится сдвигом исходной точки вдоль нормали плоскости до попадания на плоскость. Эта точка является ортогональной проекцией и ближайшей точкой плоскости.

Можно ли задать плоскость тремя точками?

Да, если три точки не лежат на одной прямой. Калькулятор строит нормаль через векторное произведение двух векторов на плоскости, получает коэффициенты общего уравнения и затем считает расстояние.

Что если точка лежит на плоскости?

Тогда расстояние равно нулю, знаковое расстояние тоже равно нулю, а основание перпендикуляра совпадает с исходной точкой.

Калькулятор расстояния от точки до плоскости онлайн

Рассчитайте расстояние от точки до плоскости в 3D по координатам точки и общему уравнению плоскости. Покажем проекцию на плоскость.

Способ задания плоскости

Исходная точка

Координата X

Координата Y

Координата Z

Коэффициенты плоскости

Коэффициент A

Коэффициент B

Коэффициент C

Свободный член

Формула расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра из точки к плоскости. Если коэффициенты A, B, C, D уже известны, используйте текущий калькулятор напрямую. Если плоскость задана тремя точками, калькулятор может построить её уравнение сам.

A x + B y + C z + D = 0

A, B, C и D — коэффициенты общего уравнения плоскости.

Общий вид уравнения плоскости.

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

d — расстояние, x0, y0, z0 — координаты точки, A, B, C — координаты нормали.

Расстояние от точки до плоскости через нормаль.

В числителе стоит значение уравнения плоскости в заданной точке. В знаменателе стоит длина нормального вектора, поэтому обычное расстояние не зависит от масштаба записи уравнения.

Что вычисляет калькулятор

обычное неотрицательное расстояние d;
знаковое расстояние, которое показывает полупространство относительно выбранной нормали;
основание перпендикуляра H, то есть ближайшую точку плоскости к исходной точке;
длину нормального вектора и значение уравнения в точке;
два режима ввода: готовое общее уравнение или три точки плоскости;
проверку вырожденных случаев и числовые параметры результата.

Если плоскость задана тремя точками

Если вместо коэффициентов известны три точки плоскости, калькулятор строит два вектора на плоскости и берёт их векторное произведение. Полученная нормаль переводит задачу к общему уравнению, после чего расстояние считается тем же способом.

n = M_{1} M_{2} \times M_{1} M_{3}

n — нормаль к плоскости, M1, M2 и M3 — три точки плоскости.

Нормаль к плоскости через два направляющих вектора.

D = - (A x_{1} + B y_{1} + C z_{1})

D — свободный член, x1, y1, z1 — координаты точки плоскости.

Три точки не должны лежать на одной прямой. Если они коллинеарны, единственная плоскость через них не определяется.

Знаковое расстояние и основание перпендикуляра

Обычное расстояние всегда неотрицательно. Если убрать модуль, получится знаковое расстояние: оно показывает, в каком полупространстве находится точка относительно выбранного направления нормали. При смене направления нормали знак меняется, а обычное расстояние остаётся тем же.

s = \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

s — знаковое расстояние, x0, y0, z0 — координаты точки.

Знаковое расстояние без модуля.

H = M_{0} - \frac{A x _{0} + B y _{0} + C z _{0} + D}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}} (A; B; C)

H — основание перпендикуляра, M0 — исходная точка, A, B, C — нормаль плоскости.

Основание перпендикуляра, то есть ортогональная проекция точки на плоскость.

Если умножить A, B, C и D на одно и то же ненулевое число, плоскость и обычное расстояние не изменятся. Если множитель отрицательный, изменится только знак знакового расстояния.

Особые случаи

Ситуация	Как понимать результат
Точка лежит на плоскости	расстояние равно нулю, а H совпадает с исходной точкой
Нулевая нормаль	коэффициенты не задают плоскость
Коллинеарные три точки	по ним нельзя построить единственную плоскость
Коэффициенты умножены на одно число	плоскость и обычное расстояние не меняются
Уравнение умножено на отрицательное число	знак знакового расстояния меняется

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.