Калькулятор расстояния от точки до прямой в пространстве онлайн
Найдите расстояние от точки до прямой в пространстве по точке и вектору или по двум точкам. Формула через векторное произведение, основание H и параметр t.
Формула расстояния от точки до прямой в 3D
В пространстве прямая задаётся точкой M1 и направляющим вектором s. Для точки M0 расстояние считают через векторное произведение: его длина связана с площадью параллелограмма, а после деления на длину направления получается высота к прямой.
d — расстояние до прямой, s — направляющий вектор, M0 — внешняя точка, M1 — точка прямой.
Расстояние до бесконечной 3D-прямой через точку прямой и направляющий вектор.
s и M0-M1 образуют параллелограмм, длина векторного произведения равна его площади.
Площадь параллелограмма на векторах направления и смещения к точке.
Как задать прямую в пространстве
Калькулятор поддерживает два режима: точка M1 вместе с направляющим вектором s или две точки прямой. Если задача дана в канонической или параметрической форме, из записи нужно взять опорную точку и направление.
- Точка и направляющий вектор: введите координаты точки M1 и координаты вектора s.
- Две точки прямой: введите M1 и вторую точку, а направление будет получено как разность координат.
- Канонические уравнения: возьмите точку из числителей и знаменатели как координаты направляющего вектора.
- Параметрическая форма: используйте начальную точку как M1, а коэффициенты при параметре как вектор s.
x1, y1, z1 — координаты точки прямой, sx, sy, sz — координаты направляющего вектора.
Каноническая запись прямой: из неё берутся точка M1 и направляющий вектор s.
M(t) — точка прямой при параметре t, M1 — опорная точка, s — направление.
Параметрическая форма той же прямой.
Основание перпендикуляра и параметр t
Кроме самого расстояния, полезно знать ближайшую точку прямой к M0. Для этого считается параметр t, после чего получается основание перпендикуляра H. Если расстояние нулевое, точка M0 лежит на прямой.
t — параметр ближайшей точки, M0-M1 — смещение от точки прямой к внешней точке.
Параметр ближайшей точки на прямой.
H — основание перпендикуляра, t — параметр проекции, s — направляющий вектор.
Основание перпендикуляра, то есть ортогональная проекция точки на прямую.
Чем отличается от 2D-формулы
На плоскости прямая задаётся одним линейным уравнением, и расстояние считается через нормаль к этой прямой. В пространстве одно линейное уравнение задаёт плоскость, а не прямую, поэтому для 3D-задачи нужны точка и направление.
A, B и C задают прямую на плоскости.
Так выглядит прямая на координатной плоскости.
A, B, C и D задают плоскость в пространстве.
В пространстве такая запись задаёт плоскость, а не прямую.
Не расстояние до отрезка
Особые случаи
| Ситуация | Что происходит |
|---|---|
| Нулевой направляющий вектор | прямая не задана, нужно выбрать ненулевое направление |
| Две точки прямой совпадают | направление не определяется, выберите разные точки |
| Точка лежит на прямой | расстояние получается нулевым, основание совпадает с исходной точкой |
| Ближайшая точка вне пары M1 и M2 | для бесконечной прямой это допустимо, но для отрезка нужен отдельный расчёт |
| Координаты заданы дробями | для почти совпадающих точек применяется числовой допуск к длине направления |
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Рассчитайте расстояние от точки до прямой на плоскости по координатам и общему уравнению прямой. Покажем основание перпендикуляра.
Рассчитайте расстояние от точки до плоскости в 3D по координатам точки и общему уравнению плоскости. Покажем проекцию на плоскость.
Найдите расстояние между точками на плоскости или в пространстве по координатам x, y и z. Калькулятор покажет формулу Евклидова расстояния.
Составьте уравнение плоскости по трём точкам или по точке и нормальному вектору. Результат выводится в общем виде с нормалью и пересечениями осей.