Калькулятор угла между плоскостями онлайн
Вычислите меньший угол между двумя плоскостями через их нормали. Калькулятор показывает градусы, радианы, параллельность и перпендикулярность.
D влияет на положение плоскости, но не на угол.
D влияет на положение плоскости, но не на угол.
Что такое угол между плоскостями
Углом между двумя плоскостями обычно называют меньший угол между ними. В координатной геометрии его находят через нормальные векторы: направление нормали задаётся коэффициентами при координатах, а свободный член отвечает только за сдвиг плоскости.
Этот калькулятор принимает уже готовые коэффициенты общего уравнения двух плоскостей, показывает градусы и радианы, а также отмечает параллельность, совпадение по углу и перпендикулярность.
Формула угла между плоскостями
A, B, C и D — коэффициенты плоскости, x, y и z — координаты точки.
Форма ввода для каждой плоскости.
n — нормаль плоскости, A, B и C — коэффициенты при координатах.
n1 и n2 — нормали, A, B и C с индексами — их координаты.
Скалярное произведение нормальных векторов.
φ — меньший угол между плоскостями, n1 и n2 — их нормали.
Модуль даёт меньший угол между плоскостями.
Свободные члены не входят в вычисление угла: они меняют положение плоскостей в пространстве, но не направление их нормалей.
Почему угол берётся острым
Нормаль к одной и той же плоскости можно направить в две стороны. Из-за этого знак скалярного произведения меняется, хотя сами плоскости остаются теми же.
φ — острый аналитический угол между плоскостями.
Диапазон ответа для угла между плоскостями в аналитической геометрии.
Поэтому в формуле используется модуль: результат не зависит от выбранного направления нормалей и остаётся меньшим углом.
Параллельные и перпендикулярные плоскости
Взаимное расположение читается по нормалям. Если нормали коллинеарны, угол равен нулю, но это ещё не доказывает совпадение: для него нужно отдельно сравнивать положение плоскостей.
| Условие для нормалей | Угол | Что значит |
|---|---|---|
| Коллинеарны | 0 градусов | плоскости параллельны или совпадают |
| Перпендикулярны | 90 градусов | плоскости перпендикулярны |
| Не коллинеарны и не перпендикулярны | между 0 и 90 градусами | плоскости пересекаются под острым углом |
Если плоскость задана тремя точками
Текущий инструмент не принимает три точки напрямую. Сначала нужно получить коэффициенты общего уравнения плоскости в соседнем инструменте, а затем перенести их сюда.
n — нормаль, M1, M2 и M3 — три точки плоскости.
Один из способов получить нормаль по трём точкам.
Пример расчёта
x, y и z — координаты точки первой плоскости примера.
Первая плоскость.
x и y — координаты точки второй плоскости примера.
Вторая плоскость.
n1 и n2 — нормальные векторы двух плоскостей.
Нормальные векторы.
n1 и n2 — нормали, их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение равно нулю.
Итог: нормали перпендикулярны, значит и плоскости перпендикулярны.
Ограничения и частые ошибки
- нулевая нормаль не задаёт плоскость, поэтому хотя бы один коэффициент при координатах должен быть ненулевым;
- свободный член нужен для записи плоскости, но не меняет угол;
- нулевой угол означает параллельность или совпадение, а не расстояние между плоскостями;
- калькулятор не строит 3D-визуализацию и не находит линию пересечения;
- угол между плоскостями не надо смешивать с углом между прямой и плоскостью.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Составьте уравнение плоскости по трём точкам или по точке и нормальному вектору. Результат выводится в общем виде с нормалью и пересечениями осей.
Рассчитайте расстояние между двумя параллельными плоскостями по их общим уравнениям. Если плоскости пересекаются, расстояние равно нулю.
Найдите угол между прямой и плоскостью по направляющему вектору прямой и нормали плоскости. Калькулятор покажет градусы, радианы и взаимное положение.
Вычислите угол между двумя прямыми по угловым коэффициентам или общим уравнениям. Калькулятор определит параллельность и перпендикулярность.