Как найти расстояние от точки до прямой?

Приведите прямую к общему виду, подставьте координаты точки, возьмите модуль полученного значения и разделите его на длину нормального вектора.

Как найти основание перпендикуляра?

Основание находится сдвигом исходной точки вдоль нормали до попадания на прямую. Это ближайшая точка прямой к исходной точке, поэтому именно отрезок до неё является искомым расстоянием.

Что означает знаковое расстояние?

Оно показывает, в какой полуплоскости находится точка относительно выбранного направления нормали. Если направление нормали поменять, знак изменится, но обычное расстояние останется тем же.

Как задать вертикальную прямую?

Используйте общий вид с единицей при горизонтальной координате, нулём при вертикальной координате и свободным членом с противоположным знаком. Также можно выбрать режим по двум точкам с одинаковой горизонтальной координатой.

Это расстояние до прямой в 2D или 3D?

Это 2D-калькулятор для координатной плоскости. Для прямой в пространстве используется отдельная задача с трёхмерными координатами и направляющим вектором.

Калькулятор расстояния от точки до прямой онлайн

Рассчитайте расстояние от точки до прямой на плоскости по координатам и общему уравнению прямой. Покажем основание перпендикуляра.

Прямая

Коэффициент A

Коэффициент B

Свободный член

Исходная точка

Координата X

Координата Y

Формула расстояния от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой на координатной плоскости — это длина перпендикуляра из точки к прямой. Если прямая дана не в общем виде, её сначала приводят к нему, а затем считают расстояние по координатам точки.

A x + B y + C = 0

A, B и C — коэффициенты общего уравнения прямой.

Общий вид прямой на плоскости.

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

d — расстояние, x0 и y0 — координаты точки, A и B задают нормаль прямой.

Расстояние через нормальный вектор прямой.

В числителе стоит значение уравнения прямой в заданной точке, взятое по модулю. В знаменателе стоит длина нормального вектора, поэтому результат выражается в тех же единицах, что и координаты.

Как задать прямую

Калькулятор закрывает три обычных сценария: готовые коэффициенты общего вида, запись с угловым коэффициентом и прямая через две разные точки. Все варианты приводятся к одной форме, поэтому результат можно сравнивать между режимами.

y = k x + b

k — угловой коэффициент, b — свободный член, x и y — координаты точки прямой.

Форма с угловым коэффициентом.

k x - y + b = 0

k и b из формы с наклоном переводятся в общий вид прямой.

Приведение формы с угловым коэффициентом к общему виду.

A = y_{2} - y_{1}, B = - (x_{2} - x_{1}), C = - (A x_{1} + B y_{1})

A, B и C — коэффициенты прямой, x1, y1, x2, y2 — координаты двух её точек.

Коэффициенты прямой через две точки.

Вертикальная прямая

Такую вертикальную прямую нельзя записать через угловой коэффициент. Задайте её в общем виде или через две точки с одинаковой координатой по горизонтальной оси.

Что показывает калькулятор

обычное неотрицательное расстояние от точки до прямой;
знаковое расстояние, которое показывает полуплоскость относительно выбранной нормали;
основание перпендикуляра, то есть ближайшую точку прямой к исходной точке;
уравнение прямой в общем виде и нормальный вектор;
график с точкой, прямой, основанием и пунктирным перпендикуляром;
числовые параметры, по которым можно проверить учебное решение.

Знаковое расстояние и масштаб уравнения

s = \frac{A x _{0} + B y _{0} + C}{A ^{2} + B ^{2}}

s — знаковое расстояние, x0 и y0 — координаты точки.

Знаковое расстояние без модуля.

H = M_{0} - \frac{A x _{0} + B y _{0} + C}{A ^{2} + B ^{2}} (A; B)

H — основание перпендикуляра, M0 — исходная точка, A и B — координаты нормали.

Основание перпендикуляра, ближайшая точка прямой к исходной точке.

Знак показывает, в какой из двух полуплоскостей находится точка. Если все коэффициенты прямой умножить на один и тот же ненулевой множитель, сама прямая и обычное расстояние не изменятся; при отрицательном множителе меняется только знак.

Особые случаи

Ситуация	Что означает
Оба коэффициента при координатах нулевые	прямая задана некорректно
Точка лежит на прямой	расстояние равно нулю, основание совпадает с исходной точкой
Две точки прямой совпадают	через них нельзя определить единственную прямую
Вертикальная прямая	используйте общий вид или режим по двум точкам
Коэффициенты масштабированы	обычное расстояние остаётся тем же

Чем отличается от 3D и маршрутов

Этот инструмент работает только с координатной плоскостью: у точки две координаты, а прямая задаётся уравнением или двумя точками. Это не расчёт маршрута и не расстояние между городами.

Для прямой в пространстве нужна другая постановка: точка прямой, направляющий вектор и трёхмерные координаты. Для такой задачи используйте отдельный связанный инструмент.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.