Расстояние между плоскостями онлайн
Калькулятор расстояния между двумя плоскостями в пространстве. Определяет, параллельны ли плоскости, совпадают или пересекаются. Если параллельны, находит расстояние через приведённые коэффициенты и показывает текстовые шаги решения.
Когда расстояние между плоскостями имеет смысл
Положительное расстояние между двумя плоскостями есть только когда они параллельны и не совпадают. Если плоскости пересекаются или совпадают, минимальное расстояние равно 0.
Калькулятор сначала сравнивает направления нормалей, затем приводит вторую плоскость к масштабу первой и только после этого считает расстояние. Это защищает от типичной ошибки: сравнивать свободные члены без нормировки.
Формула расстояния между параллельными плоскостями
pi1 — первая плоскость, A, B, C — общая нормаль, D1 — свободный член.
pi2 — вторая плоскость в том же масштабе нормали, D2 — её свободный член.
d — расстояние между параллельными плоскостями, D1 и D2 сравниваются при одинаковой нормали.
Эта запись применяется напрямую только тогда, когда коэффициенты при координатах уже записаны в одном масштабе.
n1 и n2 — нормали плоскостей, k — коэффициент приведения второй нормали к первой.
D2' — свободный член второй плоскости после приведения к масштабу первой.
d — расстояние после нормировки, n1 — нормаль первой плоскости.
Если нормали пропорциональны, второе уравнение сначала приводят к нормали первой плоскости. После этого можно сравнивать свободные члены.
Что вычисляет калькулятор
- статус пары плоскостей: пересекаются, параллельны или совпадают;
- расстояние между параллельными несовпадающими плоскостями;
- коэффициент пропорциональности нормалей;
- свободный член второй плоскости после приведения;
- длину нормали первой плоскости;
- пошаговое решение с проверкой коллинеарности.
Алгоритм проверки взаимного расположения
- взять нормали обеих плоскостей;
- проверить, пропорциональны ли нормали;
- если нормали не пропорциональны, плоскости пересекаются и расстояние равно нулю;
- если нормали пропорциональны, привести второе уравнение к масштабу первого;
- сравнить свободные члены после приведения;
- если свободные члены различаются, найти расстояние и показать единицы результата.
| Случай | Как распознаётся | Расстояние |
|---|---|---|
| Параллельные плоскости | Нормали пропорциональны, свободные члены после приведения различаются | Положительное |
| Совпадающие плоскости | После приведения получается одно и то же уравнение | Ноль |
| Пересекающиеся плоскости | Нормали не пропорциональны | Ноль |
Примеры для проверки
| Пример | Что показывает | Ожидаемый статус |
|---|---|---|
| Одинаковые нормали и разные свободные члены | Классический случай ненулевого расстояния | Параллельны |
| Второе уравнение умножено на общий коэффициент | Проверка нормировки перед сравнением | Совпадают |
| Разные направления нормалей | Плоскости имеют общую прямую | Пересекаются |
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор уравнения плоскости в пространстве: по трём точкам, по точке и нормали или по точке и двум векторам. Возвращает общий вид, нормальный вектор, его длину и точки пересечения с осями координат.
Калькулятор расстояния от точки до плоскости в пространстве: по общему уравнению или по трём точкам плоскости. Находит обычное и знаковое расстояние, основание перпендикуляра и полупространство относительно нормали.
Калькулятор угла между двумя плоскостями в пространстве через скалярное произведение нормалей. Показывает меньший угол, параллельность и перпендикулярность.