Как проверить, что плоскости параллельны?

Плоскости параллельны или совпадают, если их нормальные векторы пропорциональны. Калькулятор проверяет это через векторное произведение и не применяет формулу расстояния до этой проверки.

Почему важно приводить свободный член?

Одну и ту же плоскость можно записать после умножения всех коэффициентов на ненулевое число. Поэтому перед сравнением свободных членов нужно привести уравнения к одному масштабу нормали.

Что если плоскости совпадают?

После приведения коэффициентов получается одно и то же уравнение. Расстояние равно 0, но статус совпадения показывается отдельно от пересечения.

Как считать расстояние, если плоскости пересекаются?

Минимальное расстояние равно 0, потому что у плоскостей есть общая прямая. В таком случае чаще считают угол между плоскостями, а не расстояние.

Можно ли свести задачу к расстоянию от точки до плоскости?

Да. Если плоскости параллельны, можно взять любую точку одной плоскости и найти расстояние от неё до другой. Этот калькулятор использует более прямой путь через нормали и свободные члены.

Калькулятор расстояния между плоскостями онлайн

Рассчитайте расстояние между двумя параллельными плоскостями по их общим уравнениям. Если плоскости пересекаются, расстояние равно нулю.

Готовые примеры

Первая плоскость: коэффициенты уравнения

Коэффициент при первой координате

Коэффициент при второй координате

Коэффициент при третьей координате

Свободный коэффициент

Вторая плоскость: коэффициенты уравнения

Коэффициент при первой координате

Коэффициент при второй координате

Коэффициент при третьей координате

Свободный коэффициент

Сначала проверяется параллельность нормалей. Для пересекающихся плоскостей расстояние равно нулю; для параллельных сравниваются свободные коэффициенты после приведения.

Когда расстояние между плоскостями имеет смысл

Положительное расстояние между двумя плоскостями есть только когда они параллельны и не совпадают. Если плоскости пересекаются или совпадают, минимальное расстояние равно 0.

Калькулятор сначала сравнивает направления нормалей, затем приводит вторую плоскость к масштабу первой и только после этого считает расстояние. Это защищает от типичной ошибки: сравнивать свободные члены без нормировки.

Единицы результата

Единицы расстояния совпадают с единицами координат. Если координаты заданы в метрах, итоговое расстояние тоже будет в метрах.

Формула расстояния между параллельными плоскостями

π_{1} : A x + B y + C z + D_{1} = 0

pi1 — первая плоскость, A, B, C — общая нормаль, D1 — свободный член.

π_{2} : A x + B y + C z + D_{2} = 0

pi2 — вторая плоскость в том же масштабе нормали, D2 — её свободный член.

d = \frac{∣ D _{1} - D _{2} ∣}{A ^{2} + B ^{2} + C ^{2}}

d — расстояние между параллельными плоскостями, D1 и D2 сравниваются при одинаковой нормали.

Эта запись применяется напрямую только тогда, когда коэффициенты при координатах уже записаны в одном масштабе.

n_{2} = k n_{1}

n1 и n2 — нормали плоскостей, k — коэффициент приведения второй нормали к первой.

D_{2}^{'} = \frac{D _{2}}{k}

D2' — свободный член второй плоскости после приведения к масштабу первой.

d = \frac{∣ D _{1} - D _{2}^{'} ∣}{∣ n _{1} ∣}

d — расстояние после нормировки, n1 — нормаль первой плоскости.

Если нормали пропорциональны, второе уравнение сначала приводят к нормали первой плоскости. После этого можно сравнивать свободные члены.

Что вычисляет калькулятор

статус пары плоскостей: пересекаются, параллельны или совпадают;
расстояние между параллельными несовпадающими плоскостями;
коэффициент пропорциональности нормалей;
свободный член второй плоскости после приведения;
длину нормали первой плоскости;
пошаговое решение с проверкой коллинеарности.

Алгоритм проверки взаимного расположения

взять нормали обеих плоскостей;
проверить, пропорциональны ли нормали;
если нормали не пропорциональны, плоскости пересекаются и расстояние равно нулю;
если нормали пропорциональны, привести второе уравнение к масштабу первого;
сравнить свободные члены после приведения;
если свободные члены различаются, найти расстояние и показать единицы результата.

Случай	Как распознаётся	Расстояние
Параллельные плоскости	Нормали пропорциональны, свободные члены после приведения различаются	Положительное
Совпадающие плоскости	После приведения получается одно и то же уравнение	Ноль
Пересекающиеся плоскости	Нормали не пропорциональны	Ноль

Примеры для проверки

Пример	Что показывает	Ожидаемый статус
Одинаковые нормали и разные свободные члены	Классический случай ненулевого расстояния	Параллельны
Второе уравнение умножено на общий коэффициент	Проверка нормировки перед сравнением	Совпадают
Разные направления нормалей	Плоскости имеют общую прямую	Пересекаются

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.