Уравнение плоскости онлайн
Калькулятор уравнения плоскости в пространстве: по трём точкам, по точке и нормали или по точке и двум векторам. Возвращает общий вид, нормальный вектор, его длину и точки пересечения с осями координат.
Как составить уравнение плоскости
Калькулятор составляет уравнение плоскости в пространстве по координатным данным. Поддерживаются три реальные постановки: три точки, точка и нормальный вектор, точка и два вектора, лежащих в плоскости.
A, B, C и D — коэффициенты плоскости, x, y и z — координаты точки.
n — нормальный вектор, A, B и C — коэффициенты при координатах.
Нормальный вектор плоскости берётся из коэффициентов при координатах.
Калькулятор выводит общий вид, нормаль, длину нормали и пересечения с осями. Уравнение в отрезках и нормальная форма здесь описываются только справочно, не как отдельный поддерживаемый результат.
Уравнение плоскости по трём точкам
Если заданы три точки M1, M2 и M3, сначала строятся два вектора в плоскости. Их векторное произведение даёт нормаль. Единственная плоскость существует только когда точки не коллинеарны.
M1, M2 и M3 — точки, по которым строятся два направления в плоскости.
n — нормаль плоскости, полученная как векторное произведение двух направлений.
| M1 | M2 | M3 | Результат |
|---|---|---|---|
| (1; 0; 0) | (0; 1; 0) | (0; 0; 1) | x + y + z - |
Уравнение плоскости по точке и нормали
Если нормаль уже известна, достаточно одной точки плоскости. Коэффициенты A, B и C берутся из нормального вектора, а D находится подстановкой точки.
A, B и C — координаты нормали; x1, y1 и z1 — координаты точки плоскости.
D — свободный член, найденный подстановкой точки x1, y1, z1.
Свободный член после подстановки точки M1 плоскости.
Нормаль (0; 0; 0) не задаёт ориентацию плоскости, поэтому такой ввод считается ошибкой.
Уравнение плоскости по точке и двум векторам
Этот способ удобен, когда известна точка плоскости и два направления внутри неё. Векторы не должны быть параллельны или почти параллельны, иначе нормаль не определяется устойчиво.
n — нормаль, v1 и v2 — два непараллельных направления в плоскости.
- если векторы параллельны, через них нельзя получить единственную нормаль;
- если векторное произведение почти нулевое, результат численно нестабилен;
- после нахождения нормали расчёт совпадает с режимом точки и нормали.
Как читать результат
- A, B, C — координаты нормального вектора плоскости.
- D отвечает за сдвиг плоскости относительно начала координат.
- Длина нормали нужна для расстояний и нормирования уравнения.
- Пересечение с осью может быть точкой, отсутствовать из-за параллельности или вся ось может лежать в плоскости.
- Одну и ту же плоскость можно умножить на любое ненулевое число: это не меняет геометрический объект.
n — нормаль, A, B и C — её координаты.
k — ненулевой множитель, A, B, C и D — коэффициенты той же плоскости.
Особые случаи и ошибки ввода
| Ситуация | Что означает | Что делает калькулятор |
|---|---|---|
| Три точки коллинеарны или почти коллинеарны | Единственной плоскости нет | Показывает ошибку |
| Нормаль (0; 0; 0) | Ориентация плоскости не задана | Показывает ошибку |
| Два вектора параллельны или почти параллельны | Нормаль через векторное произведение не определяется устойчиво | Показывает ошибку |
| Плоскость проходит через начало координат | Выводит общий вид | |
| Один из A, B или C равен 0 | Возможна параллельность оси или ось целиком лежит в плоскости | Подписывает состояние для Ox, Oy или Oz |
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор расстояния от точки до плоскости в пространстве: по общему уравнению или по трём точкам плоскости. Находит обычное и знаковое расстояние, основание перпендикуляра и полупространство относительно нормали.
Калькулятор угла между двумя плоскостями в пространстве через скалярное произведение нормалей. Показывает меньший угол, параллельность и перпендикулярность.
Калькулятор угла между прямой и плоскостью в пространстве. Прямая задаётся направляющим вектором или двумя точками, плоскость — коэффициентами общего уравнения.
Калькулятор уравнения прямой по двум точкам или точке и угловому коэффициенту. Возвращает общую форму A·x+B·y+C=0, форму с угловым коэффициентом формула расчета, точки пересечения с осями, направляющий и нормальный векторы, угол наклона и SVG-график.