Чем неопределённый интеграл отличается от определённого?

Неопределённый интеграл возвращает первообразную с произвольной константой. Определённый интеграл возвращает число для заданного отрезка. В этом калькуляторе мы находим именно первообразную; для пределов интегрирования используйте отдельный инструмент.

Что значит константа C?

Это произвольная константа интегрирования. Производная постоянной равна нулю, поэтому у одной подынтегральной функции есть целое семейство первообразных.

Почему результат иногда не получается символьно?

Не каждая элементарная функция имеет элементарную первообразную. Кроме того, калькулятор поддерживает только линейные подстановки. Сложные случаи требуют замены переменной или интегрирования по частям — это пока вне символьного движка.

Как вводить корень, степень и экспоненту?

Используйте синтаксис калькулятора: sqrt для корня, знак степени с показателем в скобках для дробных степеней, exp для натуральной экспоненты.

Можно ли проверить готовый ответ?

Да. Лучшая проверка первообразной — взять её производную и сравнить с исходной функцией. Этот калькулятор делает такую проверку автоматически и помечает корректный результат статусом «Проверено».

Почему у другого калькулятора ответ выглядит иначе?

Первообразные могут отличаться алгебраическим преобразованием или значением произвольной константы. Если производная от ответа совпадает с исходной функцией, формы эквивалентны.

Что значит выбор константы на графике?

Для визуализации нужно выбрать одну кривую из семейства первообразных. Калькулятор фиксирует удобный вертикальный сдвиг; другая константа сдвинет график вверх или вниз, но не изменит производную.

Калькулятор неопределённых интегралов онлайн

Найдите неопределённый интеграл и первообразную функции. Калькулятор покажет правила интегрирования, константу C и ход решения.

Подынтегральная функция

Примеры:

Что находит калькулятор

Калькулятор находит первообразную для введённой подынтегральной функции. Ответ относится именно к неопределённому интегралу: это не число на отрезке, а семейство функций с произвольной константой интегрирования.

\int f (x) d x = F (x) + C

f(x) — подынтегральная функция, F(x) — первообразная, C — постоянная интегрирования.

\frac{d}{d x} F (x) = f (x)

F(x) — найденная первообразная, f(x) — исходная функция.

Многочлены и степени: целые и дробные показатели, кроме особого логарифмического случая.
Дроби: отдельный случай обратной функции и дробь с линейным знаменателем.
Тригонометрия: sin, cos и tan от линейного аргумента.
Экспонента: натуральная экспонента и постоянное основание.
Логарифмы и корни: ln и sqrt от линейного выражения.
Линейность: константы выносятся, сумма разбивается на сумму интегралов.

Проверка результата

После символьного интегрирования калькулятор дифференцирует найденную первообразную и сравнивает её производную с исходной функцией на нескольких точках. Если расхождение меньше заданного допуска, ответ получает статус «Проверено».

Как работает пошаговое интегрирование

Парсер строит дерево выражения и выделяет суммы, разности, постоянные множители и линейные аргументы.
Для каждого простого фрагмента применяется табличная первообразная.
Если аргумент линейный, результат корректируется по коэффициенту линейной подстановки.
К итоговой первообразной добавляется произвольная константа интегрирования.
Затем калькулятор дифференцирует найденный ответ и показывает статус проверки.

Поддерживаемые функции и формулы

\int (α f (x) + β g (x)) d x = α \int f (x) d x + β \int g (x) d x

alpha и beta — постоянные множители, f(x) и g(x) — слагаемые под интегралом.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C, n \neq = - 1

x — переменная интегрирования, n — показатель степени, C — постоянная интегрирования.

\int \frac{d x}{a x + b} = \frac{1}{a} ln ∣ a x + b ∣ + C

a — коэффициент при x, b — свободный член, C — постоянная интегрирования.

\int sin (a x + b) d x = - \frac{1}{a} cos (a x + b) + C

a — коэффициент линейного аргумента, b — сдвиг, C — постоянная интегрирования.

\int exp (a x + b) d x = \frac{1}{a} exp (a x + b) + C

a — коэффициент при x, b — сдвиг экспоненты, C — постоянная интегрирования.

\int a x + b d x = \frac{2}{3 a} (a x + b)^{3/2} + C

a — коэффициент линейного выражения, b — свободный член, C — постоянная интегрирования.

Группа	Что покрывается
Многочлены	Суммы степенных слагаемых и постоянных множителей.
Тригонометрия	sin, cos и tan с линейным аргументом.
Экспоненты	Натуральная экспонента и постоянное основание.
Логарифмы и корни	ln и sqrt для линейных аргументов.
Проверка	Автоматическое дифференцирование найденной первообразной.

Зачем нужна константа

Производная любой постоянной равна нулю, поэтому без произвольной константы ответ на неопределённый интеграл был бы неполным.

Что калькулятор пока не умеет

Метод интегрирования: интегрирование по частям для произведений функций, где нужно выбирать множители вручную.
Замена переменной: нелинейная замена переменной не поддерживается, когда внутренний аргумент не является линейным выражением.
Сложные рациональные дроби с разложением на простые дроби.
Обратные тригонометрические функции как подынтегральные выражения.
Специальные функции и неэлементарные первообразные, которые не выражаются через базовые элементарные функции.

Если ответ не найден

Это не ошибка ввода автоматически: текущий движок не является универсальной CAS-системой. Для сложного примера разберите метод вручную, а затем проверьте полученную первообразную через производную.

Как читать график первообразной

График строится только после найденного символьного ответа. Важно: график зависит от константы. Для визуализации калькулятор выбирает одну представительницу семейства так, чтобы кривая проходила через начало координат; изменение константы просто сдвигает её вверх или вниз.

Почему график может не появиться

Если символьная первообразная не найдена, график не строится: калькулятор не строит численную первообразную и не показывает график результата. Это честное ограничение текущей реализации.

Чем отличается от определённого интеграла

Неопределённый интеграл отвечает на вопрос о первообразной функции. Определённый интеграл отвечает на другой вопрос: численное значение на заданном отрезке, часто связанное с площадью под графиком.

Как выбрать инструмент

Если нужна первообразная с константой, используйте эту страницу. Если есть нижний и верхний пределы интегрирования, нужен калькулятор определённых интегралов.

Где применяются неопределённые интегралы

Физика: восстановление пути по скорости, скорости по ускорению, потенциала по полю.
Геометрия: площадь под кривой, длина дуги, объём тел вращения.
Вероятность: функция распределения как первообразная плотности.
Экономика: общий доход как первообразная предельного дохода.
Дифференциальные уравнения: базовый шаг при восстановлении функции по её производной.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.