Производная функции онлайн
Символьное дифференцирование с объяснением правил, производными 1-3 порядка, касательной, графиком и численной проверкой.
Производная функции онлайн
Калькулятор находит символьную производную для явной функции одной переменной. Он возвращает формулу выбранного порядка, значение функции в точке, значение производной в этой точке, касательную и график функции вместе с графиком производной.
x — переменная дифференцирования, f(x) — исходная функция, f'(x) — её производная.
- Основной результат — символьная формула, а не только число в точке.
- Можно выбрать первую, вторую или третью производную.
- Для первой производной дополнительно показывается касательная в выбранной точке.
- Численная проверка помогает сверить значение, но не заменяет символьное дифференцирование.
- График показывает поведение исходной функции и выбранной производной рядом с точкой.
Как вводить функцию
- Введите выражение от переменной x.
- Пишите умножение явно через знак звездочка.
- Степень задавайте через символ крышка; для длинного показателя используйте скобки.
- Выберите порядок производной: первый, второй или третий.
- Укажите одну точку для расчета значения и касательной.
| Тип ввода | Как писать |
|---|---|
| Степень | через знак крышка |
| Умножение | через знак звездочка |
| Синус и косинус | sin и cos |
| Натуральный логарифм | ln |
| Десятичный логарифм | lg или log |
| Экспонента | exp |
| Корень | sqrt |
| Константы | pi и e |
Правила дифференцирования
Компонент строит синтаксическое дерево выражения и рекурсивно применяет правила к каждому узлу. Это дает объяснимый символьный результат без обещания полного пошагового trace по всем внутренним узлам.
| Правило | Что означает |
|---|---|
| Сумма и разность | Дифференцируются по слагаемым. |
| Произведение | Учитывает производную первого и второго множителя. |
| Частное | Применяется к числителю и знаменателю дроби. |
| Цепное правило | Используется для сложной функции. |
| Степень | Покрывает постоянный показатель, постоянное основание и общий степенно-показательный случай. |
| Элементарные функции | Поддерживаются базовые тригонометрические, логарифмические, экспоненциальные и гиперболические функции. |
u и v — слагаемые функции, u' и v' — их производные по x.
u и v — множители, u' и v' — производные этих множителей.
u — числитель, v — знаменатель, v не должен обращаться в ноль.
F(u) — внешняя функция, u — внутреннее выражение, u' — производная внутреннего выражения.
u — основание, v — показатель, u' и v' — их производные.
Производные высших порядков
Вторая производная получается повторным дифференцированием первой, а третья — повторным дифференцированием второй. Это полезно в исследовании функций, задачах на выпуклость, физике движения и приближениях через ряды Тейлора.
- Первая производная описывает скорость изменения функции.
- Вторая производная помогает анализировать выпуклость и ускорение.
- Третья производная показывает изменение второй производной и чаще встречается в более глубоком анализе.
Касательная и численная проверка
Для первой производной калькулятор использует значение функции и значение производной в выбранной точке, чтобы показать касательную. Рядом выводится численная проверка через центральные разности: это приближенная сверка в точке, а не основной метод нахождения формулы.
a — точка касания, f(a) — значение функции в этой точке, f'(a) — наклон касательной.
a — точка проверки, h — малый шаг, f(a+h) и f(a-h) — соседние значения функции.
Ограничения калькулятора
Калькулятор рассчитан на явные функции одной переменной x и учебные задачи по базовому дифференциальному исчислению. Он не заменяет универсальную CAS-систему.
- Не поддерживаются неявные функции.
- Не поддерживаются частные производные по нескольким переменным.
- Не строится полный пошаговый trace каждого внутреннего правила.
- Не выполняется полное CAS-упрощение, факторизация и тригонометрические преобразования.
- Для floor, ceil и round численный парсер может вычислить значение, но гладкая символьная производная не реализована.
- Область определения и проблемные точки нужно проверять отдельно.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор пределов функций онлайн с численной проверкой. Двусторонние и односторонние пределы, конечные точки и плюс-минус∞, таблица сходимости, график окрестности и подсказки по типичным неопределённостям.
Возведение числа в целую, отрицательную или дробную степень в действительных числах. Научная нотация, обратное значение и ограничения для отрицательных оснований.
Решение неопределённых интегралов онлайн с пошаговым выводом первообразной и константой интегрирования. Степени, многочлены, sin/cos/exp/ln, дробь с линейным знаменателем, линейная подстановка. Проверка через дифференцирование и график найденной первообразной.