Чем lg отличается от ln?

lg — десятичный логарифм с основанием десять, а ln — натуральный логарифм с основанием e. Оба считаются той же логикой, но дают разные численные значения для одного аргумента.

Что значит основание логарифма?

Основание — это число, которое возводят в неизвестный показатель. Калькулятор находит этот показатель для заданного положительного аргумента.

Почему x должен быть положительным?

В действительных числах допустимый логарифм требует положительный аргумент. Ноль и отрицательные значения относятся к другой, комплексной постановке задачи.

Почему основание a не может быть равно 1?

Единица в любой степени остаётся единицей, поэтому по ней нельзя однозначно восстановить показатель. Такой случай не задаёт нормальный действительный логарифм.

Как посчитать log по произвольному основанию?

Выберите режим со своим основанием, введите основание и аргумент. Если точный показатель не находится, калькулятор использует смену основания через натуральный логарифм.

Как ввести число e и его степени?

Просто напишите e. Для степеней используйте формат, например или e^-3. Калькулятор корректно их распознаёт.

Можно ли вводить дроби?

Да. Поддерживается формат, например 1/2, 3/4 или 9/4. Это удобно, когда основание или аргумент заданы дробью.

Что значит «точное значение»?

Это ответ без десятичного округления: калькулятор распознал, что аргумент является подходящей степенью основания, и показывает целый или дробный показатель.

Решает ли калькулятор логарифмические уравнения?

Нет. Этот инструмент считает значение одного логарифма по введённому основанию и аргументу. Для уравнений с неизвестной переменной нужен отдельный solver.

Калькулятор логарифмов онлайн

Вычислите логарифм числа по произвольному основанию, десятичный lg и натуральный ln. Покажем формулу смены основания и ограничения.

Основание логарифма

Аргумент логарифматолько положительное число

Готовые примерыПодставит данные и сразу покажет пошаговое решение

💡 Тысяча — целая степень десятки

Результат

десятичный логарифм, аргумент 1000

3 точное

Десятичное приближение: 3

Пошаговое решение

Дано: десятичный логарифм. Нужно найти показатель степени, который связывает основание 10 и аргумент 1000.

Проверяем ОДЗ (область допустимых значений) — для действительного логарифма нужны три условия:

① Аргумент положителен: введено 1000 ✓

② Основание положительно: введено 10 ✓

③ Основание не равно единице: введено 10 ✓

Подбираем степень: найден точный показатель 3, поэтому значение можно показать без округления.

Проверка: если возвести основание в найденный показатель, получится 1 000; это совпадает с аргументом 1000 ✓

Полезные свойства

Произведение внутри аргумента превращается в сумму логарифмов.
Частное внутри аргумента превращается в разность логарифмов.
Степень аргумента можно вынести как множитель.
Единица даёт нулевой показатель, а основание даёт показатель один.
Смену основания удобно использовать для численного расчёта.

Что такое логарифм

Логарифм числа по основанию показывает, какой показатель степени нужен, чтобы из основания получить аргумент. Поэтому калькулятор держит в фокусе один действительный логарифм: основание, аргумент, проверку области допустимых значений и итоговый показатель.

lo g_{a} (x) = k ⟺ a^{k} = x

a — основание логарифма, x — положительный аргумент, k — показатель степени, который ищет калькулятор.

В записи важно не перепутать роли: a — основание логарифма, а x — аргумент, то есть число под логарифмом. В русских учебных материалах аргумент иногда называют телом логарифма.

Область допустимых значений

Калькулятор считает действительные логарифмы, поэтому сначала проверяет три обязательных ограничения. Если одно из них нарушено, инструмент показывает ошибку вместо численного ответа.

x > 0, a > 0, a \neq = 1

x — аргумент логарифма; a — основание. Эти условия нужны для действительного значения.

Нулевой или отрицательный аргумент не даёт действительного логарифма.
Неположительное основание не подходит для стандартного действительного логарифма.
Основание, равное единице, не задаёт обратимую показательную функцию.

Какие логарифмы можно посчитать

Калькулятор работает как общий инструмент для логарифмов онлайн: можно выбрать десятичный, натуральный, двоичный режим или ввести своё основание. Узкие калькуляторы натурального и двоичного логарифма остаются связанными инструментами, а общий сценарий закрыт здесь.

l g (x) = lo g_{10} (x)

x — положительный аргумент; основание десятичного логарифма равно 10.

ln (x) = lo g_{e} (x)

x — положительный аргумент; e — основание натурального логарифма.

lo g_{2} (x)

x — положительный аргумент; основание двоичного логарифма равно 2.

lo g_{a} (x)

a — произвольное допустимое основание, x — положительный аргумент.

Поддерживаются обычные десятичные числа с точкой или запятой.
Можно вводить дроби в формате, например 1/2, 3/2 или 9/4.
Можно вводить число e, степени e через формат и дробь 1/e.
Записи вроде e2, sqrt, pi, суммы и произведения не заявляются как поддерживаемые форматы.

Как работает пошаговое решение

Сначала инструмент проверяет допустимость аргумента и основания, затем ищет точное значение. Если аргумент является степенью основания, ответ можно показать без округления: целым или простой дробью.

lo g_{a} (1) = 0

a — любое допустимое основание; единица всегда даёт нулевой показатель.

lo g_{a} (a) = 1

a — основание логарифма; оно само получается первой степенью.

lo g_{a} (a^{k}) = k

k — показатель степени; если аргумент равен степени основания, ответ точный.

Когда красивый показатель не найден, применяется универсальная смена основания через натуральный логарифм. После этого результат проверяется обратным возведением основания в найденный показатель.

lo g_{a} (x) = \frac{ln x}{ln a}

x — аргумент, a — основание; смена основания используется для численного приближения.

Это не solver логарифмических уравнений

Калькулятор вычисляет значение одного логарифма по заданному основанию и аргументу. Он не упрощает произвольные выражения из нескольких логарифмов и не решает уравнения с неизвестной переменной.

Примеры точных и приближенных ответов

Точные ответы особенно полезны в учебных задачах: они показывают показатель степени, а не только десятичное приближение. Для остальных значений результат выводится численно.

l g (1000) = 3

l g (0, 01) = - 2

ln (e^{3}) = 3

ln (\frac{1}{e}) = - 1

lo g_{2} (1024) = 10

lo g_{4} (2) = \frac{1}{2}

lo g_{1/2} (8) = - 3

lo g_{3/2} (\frac{9}{4}) = 2

Свойства логарифмов

Свойства помогают проверять ручное решение и понимать, почему логарифм связан со степенями. В этом разделе они приведены как справка: сам инструмент считает один логарифм, а не преобразует длинное выражение.

lo g_{a} (x y) = lo g_{a} (x) + lo g_{a} (y)

lo g_{a} (\frac{x}{y}) = lo g_{a} (x) - lo g_{a} (y)

lo g_{a} (x^{n}) = n lo g_{a} (x)

lo g_{a} (x) = \frac{lo g _{b} ( x )}{lo g _{b} ( a )}

Частые ошибки

Путать десятичный и натуральный логарифм: у них разные основания и разные численные ответы.
Вводить ноль или отрицательное число как аргумент действительного логарифма.
Выбирать основание единица: такую показательную функцию нельзя обратить.
Ожидать точную дробь там, где результат является иррациональным приближением.
Пытаться ввести выражение вместо одного числа: для выражений нужен более широкий инженерный калькулятор.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.