Чем отличается определённый интеграл от неопределённого?

Неопределённый интеграл возвращает первообразную с произвольной константой. Определённый интеграл возвращает число для заданных пределов и может интерпретироваться как площадь со знаком.

Почему точное решение показывается не всегда?

Калькулятор использует ограниченную таблицу правил интегрирования и не является универсальной CAS-системой. Если первообразная не найдена, он всё равно считает численное приближение Симпсоном.

Как ввести бесконечность?

Введите inf для положительной бесконечности и -inf для отрицательной. Такой несобственный интеграл считается приближённо: бесконечность заменяется конечной границей для численной оценки.

Что значит отрицательный результат?

Интеграл считает площадь со знаком. Участки выше оси x прибавляются, участки ниже оси вычитаются, поэтому итог может быть меньше нуля или равен нулю.

Почему методы прямоугольников, трапеций и Симпсона дают разные числа?

Это разные численные приближения. Прямоугольники обычно грубее, трапеции учитывают оба конца малого отрезка, а Симпсон использует параболическую аппроксимацию и чаще точнее для гладких функций.

Можно ли вычислить интеграл от модуля?

Численно — да, если выражение корректно вычисляется. Для точной площади модуль часто требует разбиения интервала по точкам смены знака, а такое разбиение калькулятор автоматически не выполняет.

Определённый интеграл онлайн

Решение определённых интегралов онлайн по функции и пределам. Точное значение показывается, если первообразная найдена; иначе калькулятор даёт численное приближение Симпсоном, сравнение методов и график площади со знаком.

Подынтегральная функция

Нижний предел

Верхний предел

Примеры:

Ошибка: Не удалось разобрать выражение

Что именно считает калькулятор

Калькулятор находит число для заданной функции и двух пределов интегрирования. Это отдельный интент от поиска первообразной: здесь важны нижняя граница, верхняя граница, итоговое значение и способ его получения.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

a — нижний предел, b — верхний предел, F — первообразная функции f.

Точное значение показывается только если текущая таблица правил смогла найти первообразную.
Численное значение считается методом Симпсона и используется как fallback для сложных функций.
Сравнение методов показывает левые и правые прямоугольники, трапеции и Симпсона на конечном отрезке.
График подсвечивает положительные и отрицательные участки площади со знаком.

Точное решение доступно не всегда

Это не универсальная CAS-система. Для функций без найденной первообразной результат остаётся полезным как численное приближение, но блок пошаговой подстановки по Ньютону-Лейбницу не показывается.

Как вводить функцию и пределы

Введите функцию f(x) в обычной нотации:, sin(x), exp(-x^2).
Укажите нижний предел a и верхний b. Поддерживаются числа, pi, e, дроби, inf и -inf.
Для конечного отрезка используйте обычные числовые границы, для несобственного случая — бесконечный предел.
Тип результата зависит от функции: точный по первообразной или численное приближение Симпсоном.

Запись	Как использовать
pi	Число пи для тригонометрических примеров.
e	Основание натурального логарифма.
inf	Положительная бесконечность в верхнем или нижнем пределе.
-inf	Отрицательная бесконечность для несобственных интегралов.

Типовые случаи

Для проверки обычно берут степень на конечном отрезке, синус на периоде, обратную функцию, рациональную функцию с бесконечным пределом и гауссов интеграл.

Формула Ньютона-Лейбница

Символьный путь используется тогда, когда для введённой функции найдена первообразная. После этого калькулятор подставляет оба предела и показывает разность значений.

Шаг	Действие
1	Найти первообразную F(x) от f(x)
2	Вычислить F(b) — значение в верхнем пределе
3	Вычислить F(a) — значение в нижнем пределе
4	Найти разность F(b) − F(a) — это и есть значение интеграла

Какие первообразные поддерживаются

Символьный движок покрывает константы, степени переменной, суммы, разности, умножение на константу, линейные аргументы для базовых sin, cos, tan, exp, ln и sqrt. Сложные замены, интегрирование по частям и специальные функции не входят в текущую таблицу правил.

Когда результат будет только численным

Если первообразная не найдена, калькулятор не скрывает задачу и считает значение численно. Основной результат в таком случае помечается как приближение, а сравнение методов помогает понять устойчивость оценки.

Метод	Идея	Порядок точности
Левые прямоугольники	Высота	O(h)
Правые прямоугольники		O(h)
Трапеции	Площадь трапеции по двум значениям f и f(x_{i+1})	O)
Симпсон	Парабола через 3 точки на каждой паре отрезков	O)

Разрывы и плохие точки

Если на отрезке есть разрыв, вертикальная асимптота или нечисловые значения, численный метод может дать нестабильный ответ. В таких случаях нужно проверять область определения и разбивать задачу на корректные интервалы.

Интеграл и площадь со знаком

Определённый интеграл связан с площадью, но это площадь со знаком. Участки графика выше оси прибавляются, участки ниже оси вычитаются. Поэтому итог может быть отрицательным или равным нулю даже при видимых областях на графике.

Если функция неотрицательна на всём отрезке, значение совпадает с геометрической площадью.
Если функция меняет знак, положительные и отрицательные части частично компенсируются.
Если нужна площадь без знака, модуль или разбиение по корням нужно анализировать отдельно.

Модуль и кусочные функции

Выражения с abs могут считаться численно, но точный разбор площади часто требует разделить отрезок в точках смены знака. Автоматического разбиения кусочных функций здесь нет.

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл появляется при бесконечном пределе или проблемной точке внутри интервала. Компонент поддерживает ввод inf и -inf, но численная часть заменяет бесконечность конечной границей, поэтому такой ответ нужно читать как оценку.

R \to + \infty lim \int_{a}^{R} f (x) d x

R — конечная граница, уходящая к бесконечности, a — фиксированный нижний предел, f(x) — подынтегральная функция.

Сценарий	Как читать результат
Предел inf или -inf	Это приближённый несобственный интеграл, а не полный тест сходимости.
Функция расходится	Численный ответ может стать очень большим или нестабильным.
Функция имеет разрыв	Нужно отдельно проверить обе стороны проблемной точки.
Первообразная найдена	Символьная оценка помогает, но для бесконечности всё равно нужна осторожность.

Примеры для проверки

\int_{0}^{π} sin x d x = 2

0 и pi — пределы интегрирования, sin x — подынтегральная функция, 2 — значение интеграла.

Пример	Что он проверяет
от 0 до 2	Степенное правило и точный путь.
sin(x) от 0 до pi	Тригонометрическую первообразную.
1/x от 1 до e	Логарифмический случай.
от 0 до inf	Несобственный интеграл и приближённую интерпретацию.
exp(-x^2) от -inf до inf	Численный fallback без элементарной первообразной.

Чем отличается от неопределённого интеграла

Неопределённый интеграл ищет семейство первообразных с произвольной константой. Определённый интеграл использует пределы и возвращает число. Поэтому на этой странице главный результат — значение на интервале, а не формула семейства функций.

Связанные темы

Для поиска первообразной используйте соседний калькулятор неопределённых интегралов, для проверки первообразной — калькулятор производных, а для строгого анализа несобственных случаев — калькулятор пределов.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено: 1 июня 2026