В каком виде вводить число?

Поддерживаются алгебраическая запись, полярная запись и числовые выражения в частях числа. Например, можно вводить 3+4i, -2i, sqrt(2)+i, 5∠53 или 5/_53. Угол в полярной форме измеряется в выбранных единицах.

Можно ли использовать j вместо i?

Да. В электротехнике мнимую единицу часто пишут как j, чтобы не путать ее с током i. Калькулятор воспринимает 3+4j так же, как 3+4i.

Чем отличаются формы записи?

Алгебраическая форма удобна для сложения и вычитания. Полярная, тригонометрическая и показательная формы удобнее для углов, умножения, деления, степеней и корней.

Почему аргумент бывает разным?

Направление комплексного числа не меняется, если добавить полный оборот. Поэтому вместе с главным значением можно показать все варианты как θ + 2πk в радианах или как θ + 360°k в градусах.

Что значит диапазон (−π; π]?

Это стандартный выбор главного значения аргумента: левый край не включается, правый включается. Если нужен только положительный угол, переключите диапазон на [0; 2π).

Как считается деление?

Калькулятор использует сопряженное число знаменателя: после домножения знаменатель становится действительным, а результат снова записывается через действительную и мнимую части. Эти шаги показаны в блоке решения.

Что произойдёт при делении на ноль?

Если z₂ = 0 (то есть и a₂, и b₂ равны нулю), деление невозможно — калькулятор покажет ошибку «Деление на ноль: |z₂| = 0».

Можно ли использовать π и √2?

Да. Введите π или pi для числа Пи, e для основания натурального логарифма, для корня. Например, sqrt(2)∠45 в полярной форме даёт ровно 1+i.

Почему у корня комплексного числа несколько значений?

При извлечении корня учитываются разные направления, которые отличаются на полный оборот до деления угла на n. Поэтому у ненулевого комплексного числа обычно получается n разных корней.

Калькулятор комплексных чисел

Онлайн-калькулятор комплексных чисел: ввод в форме a+bi, a+bj или r∠θ, действия, модуль, аргумент, формы записи, степени и корни с пошаговым решением.

Единицы угла

Форма записи результата

Диапазон аргумента

Показ аргумента

Первое число

Второе число

Готовые примеры

Первое число: ошибка

Пустой ввод

💡 Введите комплексное число в поддерживаемой форме.

Введите число в алгебраической или полярной форме и проверьте разделитель угла.

Второе число: ошибка

Пустой ввод

💡 Введите комплексное число в поддерживаемой форме.

Введите число в алгебраической или полярной форме и проверьте разделитель угла.

Что умеет калькулятор комплексных чисел

Калькулятор работает как учебный и инженерный инструмент: принимает два комплексных числа, выполняет выбранное действие, показывает модуль, аргумент, действительную и мнимую части, а также несколько форм записи результата.

Доступны сложение, вычитание, умножение и деление двух чисел.
Для одного числа доступны сопряжение, противоположное, обратное число, квадрат и операции с действительной константой.
Отдельный блок считает целые степени и корни по формуле Муавра.
Аргумент можно показывать в главном диапазоне или как семейство значений с полными оборотами.
Углы переключаются между градусами и радианами.

Не произвольный CAS

Интерфейс рассчитан на структурированный ввод: задайте z1 и z2, выберите действие, а степени, корни и унарные операции используйте в отдельных блоках калькулятора.

Какие записи поддерживаются

Ввод можно делать в привычной математической записи или в инженерной записи с буквой j. Полярный ввод читает угол в тех единицах, которые выбраны в настройках калькулятора.

Алгебраическая форма: например 3+4i, 1-i, -2i или 5.
Инженерная запись: например 3+4j или 5-j; буква j воспринимается как мнимая единица.
Полярная форма: например 5∠53, sqrt(2)∠45 или запись через r/_θ.
Константы и выражения: pi, π, e,, дроби и степени в числовых частях.
Ограничения: модуль в полярной записи должен быть неотрицательным, а несколько мнимых слагаемых лучше предварительно упростить.

Когда важны единицы угла

Одна и та же полярная запись с числовым углом даст разные координаты в градусном и радианном режимах. Переключатель единиц стоит проверить перед вводом полярного числа.

Базовые обозначения

Комплексное число задается действительной и мнимой частями. Эти же обозначения используются в пошаговом решении, карточках результата и формульных блоках.

z = a + bi

a — действительная часть, координата по оси Re
b — мнимая часть, координата по оси Im
i — мнимая единица

i^{2} = - 1

Re (z) = a, Im (z) = b

Формулы действий с комплексными числами

Сложение и вычитание удобнее считать по координатам. Для умножения раскрываются скобки, а для деления используется сопряженное число знаменателя.

(a_{1} + b_{1} i) + (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) i

(a_{1} + b_{1} i) - (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} - a_{2}) + (b_{1} - b_{2}) i

(a_{1} + b_{1} i) (a_{2} + b_{2} i) = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) i

\frac{z _{1}}{z _{2}} = \frac{z _{1} z _{2}}{∣ z _{2} ∣ ^{2}}

Модуль и аргумент

Модуль показывает расстояние от начала координат, а аргумент показывает направление радиус-вектора. Для нуля направление не определено, поэтому калькулятор выводит прочерк.

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

ar g (z) = atan2 (b, a)

ar g (z) = θ + 2 π k, k \in Z

r — модуль комплексного числа, расстояние до начала координат
θ — аргумент, то есть выбранное направление числа
k — любое целое число для полного семейства аргументов

Режим аргумента	Когда удобен
Главное значение	Стандартная математическая запись с одним выбранным углом
Положительный диапазон	Инженерные задачи, где угол удобно читать от нуля до полного оборота
Все варианты	Учебные решения, где нужно показать семейство углов

Формы записи комплексного числа

Одно число можно представить в нескольких эквивалентных формах. Калькулятор показывает их рядом, чтобы было проще выбрать запись для учебного решения, проверки или инженерного расчета.

z = a + bi

z = r ∠ θ

z = r (cos θ + i sin θ)

z = r e^{i θ}

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

Тождество Эйлера связывает тригонометрическую и показательную формы.

Задача	Удобная форма
Сложить или вычесть	Алгебраическая
Умножить или разделить	Полярная или показательная
Возвести в степень	Тригонометрическая или показательная
Найти все корни	Показательная или тригонометрическая
Записать фазор	Полярная

Степени и корни комплексных чисел

Для степеней и корней калькулятор использует модуль и аргумент исходного числа. Корни выводятся списком, потому что у ненулевого комплексного числа обычно несколько разных корней одной степени.

z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)

n z = n r (cos \frac{θ + 2 π k}{n} + i sin \frac{θ + 2 π k}{n})

z — исходное комплексное число
n — целая степень или степень корня
r — модуль исходного числа
θ — аргумент исходного числа
k — номер ветви корня

Ограничения блока степеней и корней

Степень должна быть целой. Для корня n должно быть положительным целым числом, текущий предел в интерфейсе — двадцать четыре. Нулевая степень нуля и отрицательная степень нуля не определены.

Где используются комплексные числа

Комплексные числа встречаются не только в школьной алгебре. Они помогают описывать повороты на плоскости, колебания, фазовые сдвиги и задачи, где реальные корни отсутствуют.

Квадратные и кубические уравнения с комплексными корнями.
Электротехника: фазоры, импеданс и запись a+jb.
Сигналы и колебания, где важны амплитуда и фаза.
Геометрия на плоскости: длины, направления и повороты.
Учебные преобразования через формулы Эйлера и Муавра.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено: 1 июня 2026