Чем тригонометрическая форма отличается от показательной?

Они эквивалентны: тригонометрическая форма явно показывает косинус и синус, а показательная записывает ту же связь короче через формулу Эйлера. Показательная компактнее для умножения, деления, степеней и корней.

Как ввести число в полярной форме?

Используйте знак ∠: слева модуль, справа угол. В градусном режиме угол читается как градусы, в радианном — как радианы. Также поддерживается показательная запись и запись через косинус с синусом.

Почему угол показан как π/4, а не 0.7854?

Если значение угла совпадает с распространённым кратным числом пи или пятнадцати градусам, конвертер показывает точный символьный вид. Это удобно для записи решений на бумаге.

Что выбрать: главное значение или положительный диапазон?

Главное значение чаще используют в математике и большинстве библиотек. Положительный диапазон удобен в инженерных и физических задачах, когда угол должен идти от нуля до полного оборота. Конвертер моментально пересчитывает все формы при переключении.

Можно ли вводить выражения с √ и π?

Да. Парсер понимает число пи, функцию квадратного корня, дроби, число e и степени. Это работает в алгебраической, полярной, тригонометрической и показательной записи.

Зачем нужна полярная форма, если есть показательная?

Это компактная запись, удобная в инженерных дисциплинах, например для фазоров. По смыслу она использует тот же модуль и аргумент, но пишется короче там, где явная экспонента не нужна.

Почему у нуля нет аргумента?

Ноль находится в начале координат, поэтому у него нет направления радиус-вектора. Модуль равен нулю, но угол выбрать однозначно нельзя.

Конвертер форм комплексного числа

Перевод комплексного числа между алгебраической (a+bi), полярной (r∠θ), тригонометрической и показательной (Эйлера) формами. Гибкий ввод, точные углы π/4, π/3, π/6, точный модуль √k, пошаговый перевод и визуализация на плоскости Гаусса.

Комплексное число z

Единицы угла

Диапазон arg

Примеры:

Алгебраическая

1 + i

Re z = 1, Im z = 1

Модуль и аргумент

|z| = √2

arg z = π/4 + 2π·k, k ∈ Z

Полярная (запись через ∠)

√2 ∠ π/4

|z| = √2, arg z = π/4

Тригонометрическая

√2 · (cos π/4 + i·sin π/4)

Показательная (Эйлера)

√2 · e^(i · π/4)

Компактная запись той же тригонометрической формы.

Плоскость Гаусса

Точка z = (1; 1), радиус |z| = √2

Пошаговый перевод

Алгебраическая форма: 1 + i
Модуль: √2
Аргумент: π/4 + 2π·k, k ∈ Z ≈ 0,7854 рад
Записи через модуль и аргумент:
- Полярная: √2 ∠ π/4
- Тригонометрическая: √2 · (cos π/4 + i·sin π/4)
- Показательная: √2 · e^(i · π/4)

Сводная таблица представлений z

Форма	Значение
Алгебраическая	1 + i
Полярная	√2 ∠ π/4
Тригонометрическая	√2 · (cos π/4 + i·sin π/4)
Показательная	√2 · e^(i · π/4)

Точные углы — справочник

Радианы	Градусы	Косинус	Синус	Показательная форма
0	0°	1	0	1
π/6	30°	√3/2	1/2	√3/2 + i/2
π/4	45°	√2/2	√2/2	√2/2·(1+i)
π/3	60°	1/2	√3/2	1/2 + (√3/2)·i
π/2	90°	0	1	i
π	180°	−1	0	−1
3π/2	270°	0	−1	−i

Четыре формы записи одного и того же числа

Комплексное число можно записать четырьмя эквивалентными способами. Они описывают одну и ту же точку на плоскости Гаусса, но удобны для разных задач: одно для сложения, другое — для умножения и возведения в степень.

z = a + bi

z — комплексное число, a — действительная часть, b — мнимая часть, i — мнимая единица.

z = r ∠ θ

z — то же число в полярной записи, r — модуль, θ — аргумент.

z = r (cos θ + i sin θ)

r задаёт длину радиус-вектора, θ задаёт направление, i отмечает мнимую часть.

z = r e^{i θ}

r — модуль в показательной форме, e — основание экспоненты, iθ — мнимый показатель.

Форма	Когда удобна
Алгебраическая	Сложение, вычитание, ввод по координатам Re/Im
Полярная	Краткая запись в инженерных задачах
Тригонометрическая	Школьная программа, доказательства
Показательная (Эйлера)	Умножение, деление, степени, корни

Связь между формами

Модуль задаёт длину радиус-вектора, аргумент задаёт угол с положительным направлением действительной оси. Обратный переход восстанавливает координаты через косинус и синус выбранного угла.

Как считается перевод

r = ∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

r и |z| — модуль числа, a и b — координаты точки на плоскости Гаусса.

Модуль всегда неотрицателен.

θ = atan2 (b, a)

θ — аргумент, atan2 использует b и a, чтобы сохранить правильную четверть.

Функция учитывает четверть плоскости.

a = r cos θ, b = r sin θ

a восстанавливается через косинус, b — через синус, r и θ берутся из полярной формы.

Так выполняется обратный переход к координатам.

ar g z = θ + 2 π k, k \in Z

arg z — множество аргументов, θ — выбранное главное значение, k — целое число оборотов.

Все аргументы отличаются на целое число полных оборотов.

Как пользоваться конвертером

Введите число в любой форме: алгебраической, полярной, тригонометрической или показательной.
Выберите единицы аргумента: радианы (математический стандарт) или градусы (инженерные задачи).
Выберите диапазон arg z: главное значение (−π; π] или положительное [0; 2π).
Получите результат во всех четырёх формах с кнопками копирования и пошаговым переводом.
Скопируйте нужную форму или используйте таблицу точных углов как справочник.

Точные углы и точный модуль

Если квадрат модуля является целым числом, конвертер показывает точную радикальную запись. Если угол совпадает с распространённым кратным числом пи или пятнадцати градусам, выводится символьный угол.

Готовые примеры перевода

Ввод	Что проверить
единица плюс мнимая единица	точный модуль и угол в первой четверти
три плюс четыре мнимых единицы	целый модуль и не табличный угол
минус единица	угол на отрицательной действительной оси
чисто мнимое число	угол на мнимой оси
показательная запись с углом одна треть пи	автоматическое распознавание формы Эйлера

e^{i θ} = cos θ + i sin θ

e — основание экспоненты, i — мнимая единица, θ — угол в радианах.

e^{iπ} + 1 = 0

e, i, π, 1 и 0 образуют частный случай формулы Эйлера при угле π.

Частный случай при угле пи.

Где какая форма работает лучше

Сложение/вычитание — алгебраическая: складываем действительные и мнимые части отдельно.
Умножение/деление — показательная: модули перемножаются или делятся, аргументы складываются или вычитаются.
Возведение в степень — показательную форму удобно использовать вместе с формулой Муавра.
Корни — показательную форму удобно использовать для получения всех ветвей корня.
Электротехника — полярная r∠θ для фазоров и импедансов.

Как считается аргумент

Аргумент — это угол радиус-вектора комплексного числа. Для вычисления используется функция с двумя координатами, потому что она корректно различает четверти плоскости.

Четверть	Знаки координат	Положение угла
I	обе координаты положительные	между положительной действительной и положительной мнимой осями
II	действительная отрицательная, мнимая положительная	между положительной мнимой и отрицательной действительной осями
III	обе координаты отрицательные	между отрицательной действительной и отрицательной мнимой осями
IV	действительная положительная, мнимая отрицательная	между отрицательной мнимой и положительной действительной осями

При нуле аргумент не определён

Для нуля модуль равен нулю, а направление радиус-вектора отсутствует. Поэтому полярная, тригонометрическая и показательная записи для нуля не единственны.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено: 1 июня 2026