Почему модуль комплексного числа не бывает отрицательным?

Модуль — это длина радиус-вектора на плоскости Гаусса. Длина не имеет отрицательного направления, поэтому отрицательный ответ означает ошибку в ручных вычислениях.

Что делать с отрицательной мнимой частью?

Вводите число как есть, например 1-i или -5-12i. Знак мнимой части влияет на аргумент и положение точки, но при вычислении длины вклад этой части берётся через квадрат.

Чем модуль отличается от аргумента комплексного числа?

Модуль показывает расстояние от нуля до точки, а аргумент показывает угол этого радиус-вектора. Два числа могут иметь одинаковый модуль, но разные аргументы.

Почему в полярной форме модуль известен сразу?

Полярная запись уже содержит радиус и угол. Радиус отвечает за длину, поэтому калькулятор берёт его как модуль, если радиус неотрицателен.

Почему точная форма может быть корнем, а не десятичной дробью?

В учебных решениях точная радикальная запись часто предпочтительнее округления. Калькулятор показывает её рядом с десятичным значением и сокращает радикал, если есть квадратный множитель.

Можно ли сравнивать комплексные числа по модулю?

Да, если нужна именно длина или расстояние от нуля. Но это не создаёт полного порядка на комплексных числах: одинаковый модуль могут иметь разные точки на окружности.

Можно ли вычислять выражения с несколькими комплексными числами?

Эта страница считает модуль одного введённого числа. Для суммы, произведения или частного сначала получите итоговое комплексное число в общем калькуляторе комплексных чисел, а затем найдите его модуль здесь.

Модуль комплексного числа онлайн

Найти модуль |z| комплексного числа онлайн. Гибкий ввод (a+bi, r∠θ, sqrt, π, дроби), пошаговое решение, точная форма √k, геометрическая визуализация на плоскости Гаусса и сравнение нескольких чисел.

Единицы угла (для arg(z) и ввода r∠θ)

Диапазон arg(z)

Готовые примеры

z₁

Модуль числа

Квадрат модуля: 25

Действительная часть: 3

Мнимая часть: 4

Аргумент: 53,1301°

Пошаговое решение

Действительная часть: 3; мнимая часть: 4

Квадраты частей дают общий вклад 25.

После извлечения корня модуль равен 5

Геометрически модуль — длина вектора от нуля до точки на плоскости Гаусса.

Что именно считает модуль комплексного числа

Модуль комплексного числа — это неотрицательная длина радиус-вектора от нуля до точки на плоскости Гаусса. Для записи в алгебраической форме калькулятор берёт действительную и мнимую части, показывает точную форму корня, десятичное значение, квадрат модуля и дополнительный аргумент.

z = a + bi

z — комплексное число, a — действительная часть, b — мнимая часть, i — мнимая единица.

∣ z ∣ = a^{2} + b^{2}

|z| — модуль числа, a и b — координаты точки на плоскости Гаусса.

Итог всегда неотрицателен: это расстояние до начала координат.

∣ z ∣^{2} = a^{2} + b^{2}

|z|² — квадрат модуля, a² и b² — квадраты действительной и мнимой частей.

Квадрат модуля удобно проверять до извлечения корня.

∣ z ∣^{2} = z \overline{z}

z — исходное комплексное число, overline z — сопряженное число.

Связь с сопряженным числом полезна в доказательствах и делении комплексных чисел.

Алгоритм вычисления по шагам

Определите действительную и мнимую части числа.
Возведите обе части в квадрат, затем сложите полученные значения.
Извлеките арифметический квадратный корень из суммы квадратов.
Сверьте точную форму и десятичное приближение.
Если число задано в полярной форме с неотрицательным радиусом, модуль сразу равен радиусу.

z = r ∠ θ, r \geq 0

z — комплексное число в полярной форме, r — радиус, θ — аргумент.

∣ z ∣ = r

|z| — модуль, r — неотрицательный радиус полярной записи.

В полярной записи радиус уже является модулем.

Точная форма корня

Если сумма квадратов получается целым числом, калькулятор показывает точную радикальную форму рядом с десятичным ответом. После доработки радикал сокращается по квадратному множителю, когда это возможно.

Особые случаи

Случай	Что делает калькулятор	Комментарий
нулевое число	возвращает ноль	аргумент для нуля не определён
только действительная часть	считает обычный модуль действительного числа	мнимая часть равна нулю
только мнимая часть	берёт абсолютное значение коэффициента при i	действительная часть равна нулю
алгебраическая форма	использует корень из суммы квадратов частей	основной учебный сценарий
полярная форма	берёт радиус	угол нужен для arg(z), но не меняет модуль

Почему модуль не зависит от знаков

Отрицательная действительная или мнимая часть после возведения в квадрат даёт положительный вклад. Поэтому точки в разных четвертях могут иметь одинаковый модуль и лежать на одной окружности с центром в нуле.

Примеры для проверки

Ввод	Ожидаемый ответ	Что проверить
3+4i	целое значение 5	классическая пифагорова тройка
-5+12i	целое значение 13	отрицательная действительная часть не делает модуль отрицательным
1+i	точный корень из 2	корень не обязан извлекаться нацело
1-i	тот же модуль, что у 1+i	знак мнимой части меняет аргумент, но не длину
-2i	значение 2	чисто мнимый случай
7	значение 7	обычный модуль действительного числа
sqrt(3)+i	целое значение 2	поддержка sqrt во вводе
5∠53	значение 5	полярная запись в градусном режиме

Это калькулятор одного числа

Поле ввода принимает одно комплексное число в поддерживаемой форме. Выражения с несколькими комплексными числами, произведениями или делением нужно сначала посчитать в общем калькуляторе комплексных чисел, а затем найти модуль результата.

Поддерживаемые формы ввода и ограничения

Поддерживается алгебраическая запись: 3+4i, 1-i, -2i,, действительные числа.
Поддерживаются дроби, число π и sqrt в числовых частях.
Поддерживается полярная запись через радиус и угол с выбором градусов или радиан.
Калькулятор не поддерживает показательную форму на этой странице; для показательной и тригонометрической формы используйте связанный конвертер форм комплексного числа.
Калькулятор не является CAS и не разбирает выражения с несколькими комплексными числами в одном поле.

arg(z) — дополнительная величина

Аргумент показан рядом с результатом, потому что он помогает проверить положение точки на плоскости Гаусса. Основной ответ этой страницы — именно модуль.

Геометрический смысл и типичные ошибки

На плоскости Гаусса действительная часть отвечает за горизонтальную координату, мнимая — за вертикальную. Модуль — это гипотенуза прямоугольного треугольника, а окружность с центром в нуле собирает все числа с одинаковым модулем.

Не складывайте модули частей вместо длины радиус-вектора.
Не записывайте отрицательный модуль: результат всегда неотрицательный.
Не путайте модуль с аргументом: модуль отвечает за длину, аргумент — за направление.
Следите за единицами угла в полярном вводе: градусы и радианы дают разные координаты.
Отрицательная мнимая часть после возведения в квадрат не уменьшает длину.

∣ \overline{z} ∣ = ∣ z ∣

overline z — сопряженное число, |z| — модуль исходного числа.

Сопряжение отражает точку относительно действительной оси и не меняет расстояние до нуля.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено: 1 июня 2026