Можно ли вводить уравнения целиком?

На этой странице вводятся готовые коэффициенты. Для исходной записи уравнений целиком используйте калькулятор системы уравнений со свободным вводом.

Что значит нулевой главный определитель?

Это значит, что формулы Крамера для единственного решения не применяются. Нужно смотреть ход Гаусса и строки ступенчатой расширенной матрицы.

Чем метод Гаусса отличается от метода Крамера?

Крамер считает определители, а Гаусс преобразует расширенную матрицу. Поэтому Гаусс лучше показывает вырожденные случаи, где одного компактного ответа нет.

Можно ли вводить дроби?

Да, поддерживается формат в любой ячейке, а также десятичные числа с точкой или запятой. Расчёт остаётся численным, поэтому вывод может округляться.

Что делать, если в строке нет одной переменной?

Введите ноль в ячейку отсутствующей переменной. Так матрица остаётся полной: три коэффициента и свободный член в каждой строке.

Почему при бесконечном числе решений нет конкретной тройки?

В такой системе есть свободные переменные, поэтому одного набора значений недостаточно. Текущий инструмент классифицирует случай, но не строит параметрическую запись.

Решение СЛАУ 3×3 онлайн

Калькулятор СЛАУ формула расчета по коэффициентам: три строки расширенной матрицы формула расчета, метод Крамера, ход Гаусса, проверка и классификация вырожденных случаев.

Введите коэффициенты: система из трех уравнений. Поддерживаются дроби через косую черту.

x, строка 1

y, строка 1

z, строка 1

своб. 1

x, строка 2

y, строка 2

z, строка 2

своб. 2

x, строка 3

y, строка 3

z, строка 3

своб. 3

Виртуальная клавиатура (вводит в выделенную ячейку)

Примеры

Решение

Главный контроль

Контроль для x

Контроль для y

Контроль для z

Контрольные значения метода

Калькулятор рассчитал главный контроль системы и три контроля с заменой столбцов свободными членами. Если главный контроль не нулевой, система имеет единственное решение.

Проверка подстановкой сверяет найденные значения с каждой строкой исходной системы.

Проверка методом Гаусса

Дополнительная проверка приводит расширенную матрицу к ступенчатому виду и подтверждает тот же тип решения.

СЛАУ с тремя уравнениями решается по коэффициентам трех строк. Калькулятор показывает итоговые значения переменных, контрольные числа метода и независимую проверку классификации.

Что решает калькулятор СЛАУ

Страница рассчитана на коэффициентный ввод: пользователь заполняет три строки расширенной матрицы, то есть коэффициенты при x, y, z и свободный член каждой строки. Это быстрый формат для задачи, где система уже приведена к линейному виду.

⎩ ⎨ ⎧ a_{11} x + a_{12} y + a_{13} z = b_{1} a_{21} x + a_{22} y + a_{23} z = b_{2} a_{31} x + a_{32} y + a_{33} z = b_{3}

x, y и z — неизвестные; a11...a33 — коэффициенты, b1...b3 — свободные члены.

Формат	Что вводить	Когда удобен
Коэффициентная матрица	три коэффициента и свободный член в каждой строке	коэффициенты уже выписаны из условия
Свободный ввод	три уравнения целиком	нужно вставить исходную запись со скобками или переносами

Если уравнения записаны целиком

Сначала приведите каждую строку к стандартному линейному виду или используйте соседний калькулятор системы уравнений со свободным вводом. Эта страница не парсит исходные уравнения как текст.

Метод Крамера и определители

Метод Крамера считает главный определитель матрицы коэффициентов и три вспомогательных определителя, где один столбец заменён столбцом свободных членов. Если главный определитель ненулевой, система имеет единственную тройку значений.

x = \frac{Δ _{x}}{Δ}, y = \frac{Δ _{y}}{Δ}, z = \frac{Δ _{z}}{Δ}

x, y и z — искомые значения; Δx, Δy, Δz делятся на главный определитель Δ.

Ограничение Крамера

Нулевой главный определитель означает, что формулы Крамера для единственного ответа не применяются. Для классификации вырожденного случая калькулятор дополнительно показывает ход метода Гаусса.

Метод Гаусса

Метод Гаусса работает с расширенной матрицей: прямой ход обнуляет элементы ниже ведущих позиций, а обратный ход используется для единственного решения. По строкам ступенчатой расширенной матрицы видно, имеет ли система противоречие или свободные переменные.

Заполните три строки коэффициентов и свободных членов
Проверьте главный и вспомогательные определители
Сравните вывод Крамера с ходом Гаусса
Откройте проверку подстановкой для единственного решения

Три случая результата

Признак	Что показывает калькулятор	Что означает
Главный определитель ненулевой	значения x, y, z и проверку	единственное решение
Главный определитель нулевой, противоречивой строки нет	сообщение о бесконечном числе решений	есть свободные переменные
После Гаусса появляется противоречивая строка	сообщение, что решений нет	система несовместна

Без параметрического семейства

При бесконечном числе решений калькулятор определяет тип системы, но не выводит параметрическое семейство решений.

Крамер vs Гаусс

Критерий	Метод Крамера	Метод Гаусса
Что использует	определители	преобразования строк
Когда даёт численный ответ	при ненулевом главном определителе	для обычных систем после прямого и обратного хода
Что видно пользователю	главный и вспомогательные определители	расширенная матрица и ступенчатый вид
Главная польза	компактный контроль ответа	классификация вырожденных случаев

Как подготовить систему к вводу

Перенесите члены с неизвестными в левую часть, а число оставьте справа. Если какой-то переменной в строке нет, в её ячейку вводится ноль. Дроби можно вводить как, десятичные числа — с точкой или запятой.

Шаг	Пример без формульной записи
Исходная строка	икс равен сумме игрек, зет и единицы
После переноса	коэффициенты при икс, игрек и зет: 1, минус 1, минус 1
Ввод в матрицу	три коэффициента и свободный член: 1, минус 1, минус 1, 1

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено: 1 июня 2026