Метод Крамера для СЛАУ онлайн
Калькулятор метода Крамера для квадратных систем линейных уравнений 2×2…5×5: главный и вспомогательные определители, пошаговый вывод и проверка.
Метод Крамера решает только квадратные СЛАУ через главный и вспомогательные определители. В матрицах вспомогательных определителей подсвечивается столбец, заменённый на свободные члены. Если главный определитель равен нулю, для классификации системы нужен метод Гаусса.
Что такое метод Крамера
Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратной СЛАУ через определители. Сначала считается главный определитель матрицы коэффициентов, затем для каждой неизвестной строится вспомогательная матрица с заменой одного столбца на свободные члены.
A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, b — столбец свободных членов.
Матричная запись квадратной системы: A — матрица коэффициентов, b — столбец свободных членов.
Delta — главный определитель, A — матрица коэффициентов.
Главный определитель служит знаменателем в формулах Крамера.
Delta_i — вспомогательный определитель, A_i — матрица с замененным i-м столбцом.
Во вспомогательной матрице i-й столбец заменён на столбец свободных членов.
x_i — i-я неизвестная, Delta_i — ее вспомогательный определитель, Delta — ненулевой главный определитель.
Если главный определитель ненулевой, квадратная СЛАУ имеет единственное решение методом Крамера.
- Считаем главный определитель матрицы коэффициентов
- Для каждой неизвестной строим вспомогательную матрицу с заменой соответствующего столбца
- Считаем вспомогательные определители
- Если главный определитель ненулевой — получаем единственное решение
Когда метод Крамера применим
| Условие | Что значит | Что делать |
|---|---|---|
| Главный определитель ненулевой | Квадратная система имеет единственное решение | Применять метод Крамера |
| Главный определитель равен нулю | Крамер на этой странице не классифицирует систему | Проверить систему методом Гаусса и сравнить ранги |
| Система не квадратная | Правило Крамера не определено | Использовать другой метод решения СЛАУ |
Как формируются вспомогательные матрицы
Для каждой неизвестной берётся исходная матрица коэффициентов. Один столбец заменяется столбцом свободных членов, остальные столбцы остаются на своих местах. В результате получается отдельный вспомогательный определитель для каждой переменной.
A_1 и A_2 — вспомогательные матрицы, b1, b2 — свободные члены, a_ij — коэффициенты исходной матрицы.
Для системы первый или второй столбец заменяется на столбец свободных членов.
Пример решения
Для учебной системы с двумя неизвестными калькулятор показывает главный определитель, два вспомогательных определителя, ответ и проверку подстановкой.
x и y — неизвестные учебной системы 2x2.
Пример из готовых пресетов.
Delta — главный определитель, Delta_x и Delta_y — вспомогательные определители для x и y.
Определители для примера.
x и y — найденные значения неизвестных.
Ответ получается после деления вспомогательных определителей на главный.
Преимущества и ограничения
- Подходит только для квадратных систем )
- Если главный определитель равен нулю, нужна отдельная классификация методом Гаусса
- Для и показывается раскрытие определителя
- Для и используется численный расчёт определителей
- Дроби можно вводить как; внутри они переводятся в числа, поэтому результат отображается с округлением
- Калькулятор не принимает уравнения свободным текстом и не строит параметрическое решение
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор метода Гаусса для квадратных СЛАУ 2×2…5×5: пошаговое приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, обратный ход, ранги и классификация решений.
Калькулятор СЛАУ формула расчета по коэффициентам: три строки расширенной матрицы формула расчета, метод Крамера, ход Гаусса, проверка и классификация вырожденных случаев.
Калькулятор системы 2 линейных уравнений с 2 неизвестными: метод Крамера, определители Δ, Δₓ, Δᵧ, пошаговое решение, поддержка дробей.