CalcToolsLab

Метод Гаусса для СЛАУ онлайн

Калькулятор метода Гаусса для квадратных СЛАУ 2×2…5×5: пошаговое приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, обратный ход, ранги и классификация решений.

3 на 3
Введите коэффициенты системы. Поддерживаются обычные дроби через косую черту. Переменные: x, y, z.
x +
y +
z =
x +
y +
z =
x +
y +
z =
Виртуальная клавиатура (вводит в выделенную ячейку)
Решение
x1
y2
z3
Размер
3 на 3
Ранг A
3
Ранг расширенной матрицы
3
Метод Гаусса — прямой ход
1. Исходная расширенная матрица со столбцом свободных членов
[ 1 1 1 | 6 ]
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 1 2 -1 | 2 ]
2. Меняем местами строки 1 и 2 (выбор ведущего элемента в столбце 1)
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 1 1 1 | 6 ]
[ 1 2 -1 | 2 ]
3. Из строки 2 вычитаем строку 1, умноженную на 0,5
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 0 1,5 0,5 | 4,5 ]
[ 1 2 -1 | 2 ]
4. Из строки 3 вычитаем строку 1, умноженную на 0,5
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 0 1,5 0,5 | 4,5 ]
[ 0 2,5 -1,5 | 0,5 ]
5. Меняем местами строки 2 и 3 (выбор ведущего элемента в столбце 2)
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 0 2,5 -1,5 | 0,5 ]
[ 0 1,5 0,5 | 4,5 ]
6. Из строки 3 вычитаем строку 2, умноженную на 0,6
[ 2 -1 1 | 3 ]
[ 0 2,5 -1,5 | 0,5 ]
[ 0 0 1,4 | 4,2 ]
Обратный ход — выражаем переменные снизу вверх:
z = (4,2) / 1,4 = 3
y = (0,5 − (-1,5)·z(3)) / 2,5 = 2
x = (3 − (-1)·y(2) − (1)·z(3)) / 2 = 1

Метод Гаусса здесь применяется к квадратным СЛАУ от 2 на 2 до 5 на 5. Калькулятор показывает прямой ход, обратный ход при единственном решении, ранги и тип системы; для бесконечного множества решений параметрическая форма общего ответа не строится.

₁₂₃₄₅

Что такое метод Гаусса

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) решает СЛАУ через расширенную матрицу, элементарные преобразования строк и обратный ход. В этом калькуляторе поддерживаются квадратные СЛАУ 2x2-5x5: прямоугольные системы и символьные параметры не разбираются.

A — матрица коэффициентов, x — вектор неизвестных, b — столбец свободных членов.

Матричная запись квадратной СЛАУ: матрица коэффициентов, вектор неизвестных и столбец свободных членов.

  1. Прямой ход: обнуляем элементы под главной диагональю по столбцам
  2. Используем выбор главного (наибольшего по модулю) элемента — это повышает численную устойчивость
  3. Обратный ход: выражаем последнюю переменную, затем подставляем выше
  4. По соотношению рангов матрицы коэффициентов и расширенной матрицы определяем тип системы

Как метод Гаусса определяет тип решения

rank(A) — ранг матрицы коэффициентов, rank([A|b]) — ранг расширенной матрицы, n — число неизвестных.

Единственное решение: ранги совпадают и равны числу неизвестных.

rank(A) и rank([A|b]) совпадают, но меньше n, поэтому остаются свободные переменные.

Бесконечно много решений: система совместна, но есть свободные переменные.

rank(A) меньше rank([A|b]), значит расширенная матрица содержит противоречие.

Решений нет: расширенная матрица содержит противоречивую строку.

Условие по рангамТип системыЧто показывает калькулятор
оба ранга равны числу неизвестныхсовместная определённаяединственное решение и обратный ход
оба ранга совпадают, но меньше числа неизвестныхсовместная неопределённаябесконечно много решений и число свободных параметров
ранг расширенной матрицы больше ранга коэффициентовнесовместнаярешений нет
Ограничение для неопределённых систем
При бесконечном множестве решений калькулятор классифицирует систему и показывает ранги, но не выводит параметрическую форму общего решения.

Примеры особых случаев

Если после прямого хода появляется строка с нулевыми коэффициентами и ненулевым свободным членом, система противоречива. Если строки зависимы и противоречия нет, остаются свободные переменные.

x, y, z — неизвестные; нулевая левая часть при ненулевом свободном члене показывает несовместность.

Пример несовместной строки: левая часть обнулилась, но свободный член остался ненулевым.

x, y, z — неизвестные первой строки, которая задает базовое уравнение примера.

Начало примера зависимых уравнений для случая бесконечного множества решений.

x, y, z — те же неизвестные; строка пропорциональна первой и не добавляет независимого условия.

Вторая строка пропорциональна первой и не добавляет независимого уравнения.

x, y, z — неизвестные; третья строка также пропорциональна первой.

Третья строка тоже пропорциональна первой; при отсутствии противоречия появляются свободные переменные.

  • Несовместная система: одна строка после преобразований превращается в нулевую левую часть и ненулевой свободный член
  • Бесконечно много решений: пропорциональные или зависимые уравнения дают свободные переменные
  • Для дробных коэффициентов можно вводить значения вроде 1/2 или -3/4; внутренний расчёт остаётся численным
Численный характер расчёта
Дроби переводятся в численные значения, поэтому промежуточные шаги и ответ отображаются с округлением, а не как точные рациональные преобразования.

Метод Гаусса, Крамера и Гаусса-Жордана

МетодКогда удобенОграничение
Гаусспошаговое исследование квадратных СЛАУ 2x2-5x5, ранги и тип решенияв этом калькуляторе нет прямоугольных систем и параметрического общего решения
Крамернебольшие квадратные системы через определителинужен ненулевой главный определитель
Гаусс-Жорданполное приведение матрицы до приведённого ступенчатого видатекущий инструмент показывает классический прямой ход и обратный ход
Почему сравнивают с Крамером
Крамер даёт компактные формулы через определители, а Гаусс лучше показывает преобразования строк, ранги и вырожденные случаи в одном ходе решения.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено:

Похожие инструменты

СЛАУ: метод Крамера

Калькулятор метода Крамера для квадратных систем линейных уравнений 2×2…5×5: главный и вспомогательные определители, пошаговый вывод и проверка.

Открыть
Решение СЛАУ 3×3 (Крамер + Гаусс)

Калькулятор СЛАУ формула расчета по коэффициентам: три строки расширенной матрицы формула расчета, метод Крамера, ход Гаусса, проверка и классификация вырожденных случаев.

Открыть
Решение СЛАУ 2×2 (метод Крамера)

Калькулятор системы 2 линейных уравнений с 2 неизвестными: метод Крамера, определители Δ, Δₓ, Δᵧ, пошаговое решение, поддержка дробей.

Открыть
Калькулятор систем уравнений (3×3)

Решение системы 3 линейных уравнений со свободным вводом: парсер уравнений с x, y, z, скобки, дроби, метод Крамера, пошаговое решение и проверка подстановкой.

Открыть