Калькулятор систем уравнений (3×3) онлайн
Решите систему трех линейных уравнений с x, y, z: свободный ввод, скобки, дроби, определители, метод Крамера и проверка.
Система 3 уравнений с 3 неизвестными: калькулятор парсит свободный ввод, раскрывает скобки, обрабатывает дроби и показывает результат для переменных.
Свободный ввод трех уравнений
Система уравнений 3x3 онлайн подходит для трех линейных уравнений с переменными x, y и z. Уравнения можно вводить как в учебнике: со скобками, дробями и переменными по обе стороны от знака равенства.
x, y и z — неизвестные; aᵢ, bᵢ, cᵢ — коэффициенты при них, dᵢ — свободные члены.
После разбора каждая строка приводится к линейному виду с коэффициентами при x, y и z.
Этот калькулятор силён именно свободным вводом. Если коэффициенты уже выписаны в матрицу или нужна детальная работа с вырожденными случаями, ближе по сценарию матричный калькулятор СЛАУ и метод Гаусса.
Метод Крамера для 3x3
Для обычного случая вычисляются главный определитель и три вспомогательных определителя. Если главный определитель не равен нулю, система имеет единственное решение.
Δ — главный определитель; A — матрица коэффициентов системы 3×3.
Матрица A содержит коэффициенты системы.
Δx, Δy и Δz — вспомогательные определители для неизвестных x, y и z.
Во вспомогательных матрицах один столбец коэффициентов заменяется столбцом свободных членов.
Если Δ не равен нулю, значения x, y и z находятся по правилу Крамера.
Формулы Крамера надежно дают единственное решение только при ненулевом главном определителе.
Что делать при нулевом определителе
Если главный определитель равен нулю, формулы Крамера для единственного решения не применяются. Для нельзя ограничиваться проверкой вспомогательных определителей: нужно сравнить ранги основной и расширенной матрицы.
A — матрица коэффициентов, A|b — расширенная матрица со свободными членами; равные ранги меньше 3 означают зависимые строки.
Система совместна, но имеет свободные переменные.
A и A|b дают разные ранги, поэтому строки системы противоречат друг другу.
Расширенная матрица имеет больший ранг, значит система противоречива.
Можно и нельзя вводить
| Можно | Нельзя |
|---|---|
| + z | x² + y + |
| 2(x - 1) + 3y - | xy + |
| + y - | 1/x + y + |
| x + | sin(x) + y + |
Поддерживаются только линейные уравнения по x, y и z. Если переменная z отсутствует в строке, ее коэффициент считается нулевым.
Геометрический смысл
Каждое линейное уравнение с тремя неизвестными задает плоскость. Единственное решение — точка пересечения трех плоскостей; вырожденные случаи могут означать отсутствие общей точки или бесконечное множество решений.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
- СЛАУWikipedia
- System of EquationsWolfram MathWorld
- Cramer's RuleWolfram MathWorld
- Gaussian EliminationWolfram MathWorld
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Решите систему двух линейных уравнений с x и y онлайн: свободный ввод, скобки, дроби, метод Крамера, определители Δ, Δx, Δy и проверка.
Решите СЛАУ по коэффициентам: найдите x, y, z, определители, шаги Гаусса, проверку и случаи с нулевым главным определителем.
Решите линейное уравнение с одной переменной онлайн: скобки, дроби, ОДЗ, перенос членов, проверка корня и пошаговое преобразование.