Чем момент инерции отличается от массы?

Масса описывает инертность при поступательном движении. Момент инерции описывает сопротивление вращению и зависит не только от массы, но и от того, насколько далеко эта масса расположена от выбранной оси.

Почему у диска и обруча одинаковой массы разные значения?

У обруча почти вся масса находится у внешнего радиуса, поэтому он сопротивляется раскрутке сильнее. У сплошного диска часть массы расположена ближе к центру, поэтому при той же массе и внешнем радиусе результат меньше.

Зачем нужна теорема Штейнера?

Она переносит расчет с центральной оси на параллельную смещенную ось. Это нужно для стержня на подвесе, диска на оси у края, эксцентрика и других задач, где ось вращения не проходит через центр масс.

Что такое момент инерции сечения Jx/Jy?

Это геометрическая характеристика площади сечения в сопромате. Она используется для балок, профилей и прогибов и измеряется в мм⁴, см⁴ или м⁴. Текущий калькулятор считает другое: массовый момент инерции тела в.

Можно ли посчитать составное тело?

Да, как приближение: разбейте деталь на простые тела, приведите каждый вклад к одной оси и сложите результаты. Для отверстий вклад удаленной части вычитают. Для точных деталей сложной формы лучше использовать CAD.

Как момент инерции связан с моментом импульса?

Момент импульса твердого тела растет вместе с моментом инерции и угловой скоростью. Поэтому тяжелый широкий маховик при той же скорости имеет больший запас вращательного движения, чем компактный ротор.

Почему важна ось вращения?

Момент инерции всегда задан относительно оси. Один и тот же стержень, диск или цилиндр даст разные результаты для центральной, концевой, диаметральной или смещенной оси.

Калькулятор момента инерции

Считает массовый момент инерции тела в формула расчета для стандартных форм: стержень, диск, обруч, цилиндр, шар, сфера, пластина, параллелепипед и точечная масса. Поддерживает теорему Штейнера для параллельной смещенной оси, энергию вращения и момент силы.

Тело и положение оси

Ось перпендикулярна диску, проходит через его центр

Модельмасса, размеры и выбранная ось

Масса, кг

Радиус, м

Применить теорему Штейнера — сместить ось параллельно

Момент инерции

5,000e-3 кг·м²

В г·см²

50 000 г·см²

Дополнительно — энергия и момент силы

Угловая скорость, рад/с

Угловое ускорение, рад/с²

Энергия вращения

0,25 Дж

по введенной скорости

Требуемый момент

0,025 Н·м

по введенному ускорению

Поддерживаемые тела и оси

Тело и ось	Пояснение
Тонкий стержень — ось через центр ⟂	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Тонкий стержень — ось через конец ⟂	Ось перпендикулярна стержню и проходит через один из его концов
Сплошной диск — ось симметрии	Ось перпендикулярна диску, проходит через его центр
Сплошной диск — ось по диаметру	Ось лежит в плоскости диска и проходит через центр
Тонкий обруч / кольцо — ось ⟂	Ось перпендикулярна плоскости обруча, через центр
Сплошной цилиндр — продольная ось	Ось — главная ось симметрии цилиндра
Полый цилиндр (труба) — продольная ось	Ось — главная ось симметрии. Толстостенная труба с R₁ и R₂
Сплошной шар — ось через центр	Любая ось через центр (по симметрии)
Тонкостенная сфера — ось через центр	Полая сфера малой толщины, ось через центр
Прямоуг. пластина — ось ⟂ через центр	Ось перпендикулярна плоскости пластины, через её центр
Параллелепипед — ось через центр	Ось параллельна стороне c, проходит через центр тела
Точечная масса на расстоянии r	Материальная точка на расстоянии r от оси вращения

Что такое момент инерции тела

Этот инструмент считает массовый момент инерции тела для вращательного движения. Результат относится к выбранной оси и измеряется в, поэтому одна и та же деталь может иметь разные значения при разных положениях оси.

I = \int r^{2} d m

I — массовый момент инерции тела относительно выбранной оси.
r — расстояние малого элемента массы до этой оси.
dm — малый элемент массы; сумма таких вкладов даёт результат для всего тела.

Фокус страницы

Калькулятор работает с телами и массой: колесо, диск, шар, стержень, обруч, цилиндр, пластина или точечная масса. Это не расчет геометрического момента инерции сечения для балок и профилей.

Масса важна, но распределение массы относительно оси часто важнее самого числа килограммов.
Ось нужно выбирать явно: центральная, концевая, диаметральная, продольная или параллельная смещенная.
Большой радиус распределения массы дает больший запас энергии вращения при той же скорости.
Для параллельной смещенной оси используется теорема Штейнера.

Момент инерции тела и сечения - в чем разница

По запросу о моменте инерции выдача часто смешивает физику вращения и сопромат. Текущая страница закрывает физический расчет тела, где нужны масса, размеры и ось.

Величина	Где используется	Единицы	Что вводят
Массовый момент инерции тела	Вращательное движение, маховики, колеса, гироскопы		массу, размеры и ось
Геометрический момент инерции сечения Jx/Jy	Сопромат, балки, профили, прогибы	мм⁴, см⁴ или м⁴	форму сечения и размеры профиля

Если в задаче фигурируют балка, профиль, Jx, Jy, Ix, Iy, мм⁴ или см⁴, нужен расчет сечения. Если есть тело с массой и осью вращения, подходит этот калькулятор.

Формулы для стандартных тел

Выберите форму, которая ближе всего к реальной модели тела. Формула верна только для указанной оси: изменение оси меняет результат даже при той же массе и тех же размерах.

I = \frac{m L ^{2}}{12}

I — момент инерции однородного стержня относительно центральной оси.
m — масса стержня.
L — полная длина стержня.

I = \frac{m L ^{2}}{3}

I — момент инерции стержня относительно оси через конец.
m — масса стержня.
L — расстояние от оси на конце до противоположного конца.

I = \frac{m R ^{2}}{2}

I — момент инерции сплошного диска или цилиндра вокруг оси симметрии.
m — масса тела.
R — внешний радиус.

I = m R^{2}

I — момент инерции тонкого обруча или точечной массы на радиусе.
m — масса, сосредоточенная у выбранного радиуса.
R — расстояние массы от оси вращения.

I = \frac{2 m R ^{2}}{5}

I — момент инерции сплошного шара относительно диаметра.
m — масса шара.
R — радиус шара.

I = \frac{m ( a ^{2} + b ^{2} )}{12}

I — момент инерции прямоугольной пластины или параллелепипеда для выбранной оси.
m — масса тела.
a и b — размеры, лежащие перпендикулярно оси.

Группа тел	Что проверить перед вводом
Стержень	проходит ли ось через центр или через конец
Диск, цилиндр, обруч	совпадает ли ось с осью симметрии или диаметром
Шар и сфера	является ли тело сплошным или тонкостенным
Пластина и параллелепипед	какие две стороны лежат перпендикулярно оси
Точечная масса	расстояние от точки до оси вращения

Для составной детали считайте каждую простую часть относительно одной и той же оси, переносите оси через теорему Штейнера и складывайте вклады. Для отверстий вклад вычитают как вклад удаленной массы.

Теорема Штейнера

Табличные модели обычно задают центральную ось. Если реальная ось параллельна ей и смещена на расстояние d, применяется теорема Гюйгенса-Штейнера.

I = I_{c} + m d^{2}

I — момент инерции относительно смещенной параллельной оси.
I_c — момент инерции относительно центральной оси.
m — масса тела или выбранной части.
d — расстояние между параллельными осями.

Условие	Почему важно
Оси параллельны	теорема не переносит расчет на произвольно повернутую ось
Расстояние d задано в метрах	результат остается в
Масса относится ко всему телу	добавка от смещения считается для массы выбранной части
Смещение неотрицательно	поправка увеличивает момент относительно центральной оси

Включайте смещенную ось для стержня-маятника, диска на оси у края, эксцентрика или любой детали, где ось вращения не проходит через центр масс.

Энергия вращения, момент силы и момент импульса

После нахождения момента инерции можно оценить связанные величины вращательной динамики: запас энергии, требуемый момент для разгона и угловой момент тела.

E_{rot} = \frac{1}{2} I ω^{2}

E_rot — кинетическая энергия вращения.
I — момент инерции относительно той же оси.
ω — угловая скорость в рад/с.

M = I ε

M — момент силы вокруг выбранной оси.
I — момент инерции тела.
ε — угловое ускорение.

L = I ω

L — момент импульса твёрдого тела вокруг оси.
I — момент инерции тела.
ω — угловая скорость.

Больший момент инерции означает, что тело труднее раскрутить и остановить. При той же угловой скорости оно хранит больше энергии, а при том же угловом ускорении требует большего момента силы.

Примеры и ограничения модели

Сценарий	Как выбирать модель
Маховик или колесо	сравните диск, цилиндр и обруч; проверьте, где реально сосредоточена масса
Стержень на подвесе	выберите центральную или концевую ось, либо включите смещение
Гироскоп или ротор	важны ось симметрии, масса и радиус распределения
Сложная CAD-деталь	разбейте на простые части только для грубой оценки

Тело считается жестким, а форма - идеальной.
Плотность внутри выбранной модели считается однородной.
Ось должна совпадать с условием выбранной формулы или быть параллельно смещенной.
Трение, деформации, несимметричная масса и переменная геометрия не учитываются.
Для ответственных деталей с отверстиями, ребрами и сложной формой лучше использовать CAD или инженерный расчет.

Не используйте этот результат как момент инерции сечения балки. Для сопромата нужны геометрические характеристики сечения, а не масса тела во вращении.

Часто задаваемые вопросы

Источники и нормативная база

Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.

Обновлено: 1 июня 2026