Геометрическая прогрессия онлайн
Рассчитайте геометрическую прогрессию по b₁ и q или по b₁ и b₂: список членов, n-й член bₙ, сумму Sₙ и бесконечную сумму, когда модуль q меньше 1.
Геометрическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q. Формулы и ограничения приведены ниже в справочном блоке страницы.
Что такое геометрическая прогрессия
Геометрическая прогрессия — числовая последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число q. Это главный параметр, который называют знаменателем прогрессии.
- Выберите режим ввода: известны первый член и знаменатель q или известны два первых члена
- Введите параметры и количество членов N
- Получите список членов, знаменатель, n-й член, сумму первых N членов и бесконечную сумму, если она существует
Основные формулы
- bₙ — член прогрессии с номером n.
- b₁ — первый член последовательности.
- q — знаменатель прогрессии, общий множитель между соседними членами.
- n — номер искомого члена.
- Sₙ — сумма первых n членов, когда q не равен единице.
- b₁ — первый член прогрессии.
- q — знаменатель прогрессии.
- n — количество членов в сумме.
- Sₙ — сумма первых n членов в постоянной последовательности.
- n — количество одинаковых членов.
- b₁ — значение каждого члена, когда q равен единице.
- S∞ — сумма бесконечной прогрессии.
- b₁ — первый член.
- q — знаменатель, по модулю меньший единицы.
- q — знаменатель, найденный по двум первым членам.
- b₂ — второй член прогрессии.
- b₁ — первый член; он не должен быть нулевым в этом режиме.
| Что показывает калькулятор | Когда использовать |
|---|---|
| Список членов | Когда нужно выписать первые значения последовательности |
| Знаменатель q | Когда вводятся два первых члена или нужна проверка введённого параметра |
| N-й член | Когда нужен последний член из заданного количества |
| Сумма первых N членов | Когда нужно сложить конечный фрагмент прогрессии |
| Бесконечная сумма | Когда модуль знаменателя меньше 1 |
Пример расчёта по двум первым членам
Если первый член равен 2, а второй равен 6, калькулятор определяет знаменатель 3. При N равном 5 получаются члены 2, 6, 18, 54 и 162, а сумма первых пяти членов равна 242.
- q — знаменатель прогрессии в примере.
- 6 — второй член.
- 2 — первый член.
- b₅ — пятый член последовательности.
- 2 — первый член.
- 3 — найденный знаменатель.
- S₅ — сумма первых пяти членов.
- 2 — первый член.
- 3 — знаменатель прогрессии.
Особые случаи q
| Ситуация | Как читать результат |
|---|---|
| q равно 1 | Все члены одинаковые, сумма растёт как повторение первого члена N раз. |
| q равно 0 | В режиме первого члена и знаменателя это допустимо: после первого члена идут нули. |
| q меньше 0 | Знаки членов чередуются, поэтому последовательность знакочередующаяся. |
| Модуль q меньше 1 | Калькулятор дополнительно показывает бесконечную сумму. |
| Модуль q не меньше 1 | Конечной бесконечной суммы нет, остаётся конечная сумма первых N членов. |
| N больше 200 | Компонент ограничивает вывод и показывает ошибку «Максимум 200 членов». |
Геометрическая и арифметическая прогрессия
| Тип прогрессии | Как меняется | Главный параметр |
|---|---|---|
| Геометрическая | каждый шаг умножает предыдущий член | знаменатель q |
| Арифметическая | каждый шаг прибавляет одну и ту же величину | разность d |
Если в задаче члены увеличиваются умножением, нужна геометрическая прогрессия. Если каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа, это соседний арифметический сценарий из блока связанных калькуляторов.
Где применяется геометрическая прогрессия
- Сложный процент — рост вклада или капитала по геометрической прогрессии
- Биология — рост популяций, размножение клеток
- Физика — радиоактивный распад, затухание колебаний
- Информатика — степени двойки, бинарные деревья и экспоненциальная сложность
- Учебные задачи — поиск знаменателя, n-го члена и суммы первых членов
Ограничения калькулятора
- Калькулятор не решает все обратные задачи: он не ищет номер члена по сумме и не подбирает знаменатель по произвольному дальнему члену.
- N до 200 членов используется как практический лимит вывода на странице.
- В режиме двух первых членов b₁ не должен быть равен нулю.
- Нулевой знаменатель допустим только в режиме, где q вводится напрямую.
- Результаты округляются для отображения, поэтому при ручной сверке возможны небольшие отличия в последних знаках.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Калькулятор строит арифметическую прогрессию по a₁+d или двум первым членам, выводит первые N членов, формула расчета и формула расчета.
Найдите n-й член арифметической прогрессии по первому члену, разности и номеру. Для небольших n калькулятор также показывает первые члены прогрессии.
Расчет суммы первых n членов арифметической прогрессии по a1, n и разности d или по a1, n и последнему члену an.