Арифметическая прогрессия онлайн

Что задаёт арифметическую прогрессию

Арифметическая прогрессия — последовательность, где соседние члены отличаются на одно и то же число. Эту постоянную разность обозначают d. Если d положительная, значения растут; если d отрицательная, убывают; если d равна нулю, все члены одинаковые.

Обычно задачу сводят к двум данным: первый член и разность. По ним можно восстановить любой член с натуральным номером n и сумму первых n членов.

Формула n-го члена

1. a_n — член прогрессии с номером n.
2. a_1 — первый член последовательности.
3. d — постоянная разность между соседними членами.
4. n — натуральный номер члена: 1, 2, 3 и дальше.

Формула показывает, сколько шагов разности нужно прибавить к первому члену. Для первого члена шагов нет, поэтому при номере n, равном 1, получается исходное значение.

Сумма первых n членов

1. S_n — сумма первых n членов прогрессии.
2. n — натуральное количество складываемых членов.
3. a_1 — первый член прогрессии.
4. d — постоянная разность, которую прибавляют на каждом шаге.

Эта запись удобна, когда известны первый член, разность и количество членов. n должно быть натуральным: нулевое, отрицательное или дробное количество членов не задаёт обычную конечную сумму прогрессии.

1. S_n — сумма первых n членов.
2. n — натуральное количество членов в сумме.
3. a_1 — первый член.
4. a_n — последний член среди первых n членов.

Вторая запись полезна для проверки: сумма равна количеству пар, умноженному на среднее первого и последнего членов.

Разность по двум известным членам

1. d — разность арифметической прогрессии.
2. a_i — известный член с номером i.
3. a_j — известный член с номером j.
4. i — натуральный индекс первого известного члена.
5. j — натуральный индекс второго известного члена; j и i должны быть разными.

Для соседних членов расстояние между индексами равно одному шагу, поэтому достаточно вычесть предыдущий член из следующего. Для несоседних членов сначала проверьте индексы: оба номера натуральные, а сами индексы не совпадают.

Пример и проверка

Пусть первый член равен 2, разность равна 3, а n равно 5. Тогда первые члены идут так: 2, 5, 8, 11, 14. Пятый член равен 14, а сумма первых пяти членов равна 40.

• Проверка шага: каждое следующее значение больше предыдущего на 3.
• Проверка n-го члена: от первого члена до пятого проходит четыре шага разности.
• Проверка суммы: пары с краёв дают одинаковую сумму, а среднее первого и последнего членов равно 8.

Арифметическая и геометрическая прогрессия

На этой странице рассматривается линейное изменение: каждый шаг добавляет одну и ту же величину. Для последовательностей с умножением подходит отдельный калькулятор геометрической прогрессии.

Ограничения и частые ошибки

• n должно быть натуральным: нельзя брать нулевой или дробный номер члена в обычной школьной записи прогрессии.
• Разность d может быть отрицательной или равной нулю. Это не ошибка, а убывающая или постоянная прогрессия.
• При расчёте по двум известным членам проверяйте индексы. Если номера совпадают, разность по ним не определяется.
• Длинный список членов не нужен для проверки суммы: формула суммы первых n членов работает без выписывания всех промежуточных значений.
• Арифметическая прогрессия меняется прибавлением d. Если каждый шаг выполняется умножением, это уже геометрическая прогрессия.