Калькулятор обратных чисел
Обратное число для дробей и мультипликативное обратное по модулю через расширенный алгоритм Евклида.
Что считает калькулятор обратных чисел
Калькулятор разделяет два близких, но разных запроса: обычное обратное число для целого числа или дроби и обратный элемент в модульной арифметике. В первом случае результат связан с делением дробей, во втором — с остатками, НОД и коэффициентами Безу.
- Для дроби важны числитель, знаменатель, знак и сокращение результата.
- Для модульной арифметики главное условие — взаимная простота числа и модуля.
- Если общий делитель больше единицы, обратного элемента по модулю не существует.
Обычное обратное число и обратная дробь
Обычное обратное число — это число, которое при умножении на исходное даёт единицу. Для дроби калькулятор меняет местами числитель и знаменатель, переносит знак в числитель и сокращает результат через НОД.
- x — исходное ненулевое число.
- a — числитель исходной дроби, b — знаменатель исходной дроби.
- НОД — общий делитель числителя и знаменателя, через который сокращается обратная дробь.
Обратное по модулю: когда существует
В модульной арифметике обратный элемент существует не всегда. Калькулятор сначала приводит введённое число по модулю, затем проверяет взаимную простоту и только после этого показывает обратный элемент в стандартном диапазоне.
- a — число, для которого ищется обратный элемент.
- m — модуль; он должен быть не меньше двух.
- НОД — проверка взаимной простоты числа и модуля.
| Число | Модуль | НОД | Результат |
|---|---|---|---|
| 3 | 11 | 1 | обратный элемент 4 |
| 7 | 26 | 1 | обратный элемент 15 |
| 6 | 9 | 3 | не существует |
| -3 | 11 | 1 | обратный элемент 7 |
Расширенный алгоритм Евклида
Для модульного режима используется расширенный алгоритм Евклида. Он находит коэффициенты Безу; первый коэффициент после приведения к диапазону от нуля до модуля становится искомым обратным элементом.
- a — число, для которого ищется обратный элемент.
- m — модуль.
- x — первый коэффициент Безу; после приведения по модулю он даёт обратный элемент.
- y — второй коэффициент Безу.
Ограничения и где применяется
Страница не считает обратные функции, обратные тригонометрические функции, обратные матрицы и элементы произвольных колец. Это калькулятор для целых числителей и знаменателей, а также для модульной арифметики с целыми числами.
- Деление дробей — деление заменяется умножением на обратную дробь.
- Линейные сравнения — модульное деление сводится к умножению на обратный элемент.
- RSA и CRT — обратный элемент нужен при построении ключей и совмещении остатков.
- Ограничения ввода — модуль должен быть не меньше двух, а модульный режим ограничен 18 цифрами.
- Отрицательное число — в модульном режиме поддерживается и приводится к остатку по выбранному модулю.
Часто задаваемые вопросы
Источники и нормативная база
Расчёты выполняются на основе указанных нормативных и справочных источников. Ссылки открываются в новой вкладке.
Похожие инструменты
Наибольший общий делитель двух и более чисел. Алгоритм Евклида с пошаговым делением и расширенный алгоритм для коэффициентов Безу.
Вычисление остатка от деления (mod) онлайн: делимое, делитель, неполное частное, trunc-остаток и Python-style вариант.
Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух-шести целых ненулевых чисел онлайн. Алгоритм Евклида с пошаговым решением, разложение на простые множители.
Раскладывает натуральное число на простые множители с пошаговым делением и каноническим видом со степенями. Школьный «столбик» в тетрадном стиле.